Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2807
2019-05-06 
а) Десять простых чисел, меньших 3000, составляют арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
б) Доказать, что не существует 11 простых чисел, меньших 20 000, которые составляли бы арифметическую прогрессию.
Решение:
а) Так как простые числа (кроме 2) - числа нечетные, то разность прогрессии - число четное. Далее, если бы разность прогрессии не делилась на 3, то три члена прогрессии $a_1, a_1 + d, a_1 + 2d$ все давали бы разные остатки при делении на 3 (разность никаких двух из них не делится на 3) и, следовательно, хотя бы одно из них делилось бы на 3, что невозможно, так как все члены прогрессии по условию - простые числа (если $a_1 = 3$, то $a_1 + 3d$ тоже делится на 3). Точно так же, если бы $d$ не делилось на 5, то все числа $a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d$, и $a_1 + 4d$ давали бы при делении на 5 разные остатки и, следовательно, одно из них делилось бы на 5. Аналогично показывается, что если все члены арифметической прогрессии - простые, то разность прогрессии должна делиться на 7. Итак, разность $d$ искомой прогрессии должна быть кратна $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$; $d = 210k$.
По условию задачи
$a_10 = a_1 + 9d = a_1 + 1890k < 3000$.
Но это неравенство невозможно при $k \geq 2$; значит, $k = 1$. Отсюда следует, что $a_1 < 3000 - 9d = 1110$.
Далее $210 = 11 \cdot 19 + 1$; следовательно, ($(m+1)$-й член прогрессии можно представить в виде
$a_{m+1} = a1 + (11 \cdot 19 + 1) \cdot m = 11 \cdot 19m + (a_1 + m)$.
Отсюда следует, что если $a_1$ дает при делении на 11 остаток 2, то $a_10$ делится на 11; если $a_1$ дает при делении на 11 остаток 3, то $a_9$ делится на 11, и т. д. Таким образом, доказываем, что $a_1$ не может давать при делении на 11 остаток $2, 3, 4, \cdots$ или 10. Если $a_1$ отлично от 11, то $a_1$ не может делиться на 11 (ибо $a_1$ - простое); значит, или равно 11, или дает при делении на 11 остаток 1. Далее, используя то, что $210 = 13 \cdot 16 + 2$ и; следовательно,
$a_{m+1} = a_1 = (13 \cdot 16 + 2)m = 13 \cdot 16m + (a_1 + 2m)$,
можно показать, что $A_1$ при делении на 13 может давать только остатки 2, 4, 6, 8, 10 или 12. Учитывая, что $A_1$ нечетно (ибо все члены прогрессии нечетны), мы заключаем, что $A_1$ или равно 11 или имеет один из следующих видов:
$2 \cdot 11 \cdot 13l + 23 = 286l + 23, 286l + 45, 286l + 67, 286l + 155, 286l + 177$ или $286l + 199$.
Поскольку $a_1 < 1110$, нам остается только проверить следующие возможные значения $a_1$:
11; 23, 309, 595, 881; 45, 331, 615, 903; 67, 353, 637, 925; 155, 441, 727, 1 013; 177, 463, 749, 1 035; 199, 485, 771, 1 057.
Простыми из этих чисел являются только:
11, 23, 881, 331, 67, 353, 727, 1 013, 463 и 199.
Проверив соответствующие 10 прогрессий, мы найдем единственную прогрессию, удовлетворяющую условиям задачи:
199, 409, 619, 829, 1 039, 1 249, 1 459, 1 669, 1 879, 2 089.
б) Задача решается аналогично задаче а). Прежде всего, если $A_1$ отлично от 11, то совершенно аналогично решению задачи а) показывается, что знаменатель $d$ прогрессии должен быть пропорционален $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$ ($d = 2310k$); отсюда вытекает, что
$a_n = a_1 + 23100k > 20000$.
Остается исследовать случай $a_1 = 11$; здесь можно только утверждать, что $d = 210k$. Воспользовавшись тем, что $210 = 13 \cdot 16 + 2$, мы сможем записать следующее выражение для общего члена прогрессии:
$a_{n+1} = 11 + (13 \cdot 16 +2)kn = 13 (16kn + 1) + 2(kn - 1)$.
Но при $k = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10$ удается подобрать такой номер $n < 10$, что $kn - 1$ делится на 13 и, следовательно, $a_{n+1}$ делится на 13 и не является простым; это значение $n$ будет соответственно равно 1, 7, 9, 10, 8, 2, 5, 3, 4. Если же $k = 6$, $d = 210 \cdot 6 = 1260$, то
$a_4 = 11 + 3 \cdot 1260 = 3791$
делится на 17. Таким образом, если $a_1 = 11$, то $k > 10$, а следовательно, $d \geq 2100$ и опять $a_10 > 20000$.
а) Десять простых чисел, меньших 3000, составляют арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
б) Доказать, что не существует 11 простых чисел, меньших 20 000, которые составляли бы арифметическую прогрессию.
Решение:
а) Так как простые числа (кроме 2) - числа нечетные, то разность прогрессии - число четное. Далее, если бы разность прогрессии не делилась на 3, то три члена прогрессии $a_1, a_1 + d, a_1 + 2d$ все давали бы разные остатки при делении на 3 (разность никаких двух из них не делится на 3) и, следовательно, хотя бы одно из них делилось бы на 3, что невозможно, так как все члены прогрессии по условию - простые числа (если $a_1 = 3$, то $a_1 + 3d$ тоже делится на 3). Точно так же, если бы $d$ не делилось на 5, то все числа $a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d$, и $a_1 + 4d$ давали бы при делении на 5 разные остатки и, следовательно, одно из них делилось бы на 5. Аналогично показывается, что если все члены арифметической прогрессии - простые, то разность прогрессии должна делиться на 7. Итак, разность $d$ искомой прогрессии должна быть кратна $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$; $d = 210k$.
По условию задачи
$a_10 = a_1 + 9d = a_1 + 1890k < 3000$.
Но это неравенство невозможно при $k \geq 2$; значит, $k = 1$. Отсюда следует, что $a_1 < 3000 - 9d = 1110$.
Далее $210 = 11 \cdot 19 + 1$; следовательно, ($(m+1)$-й член прогрессии можно представить в виде
$a_{m+1} = a1 + (11 \cdot 19 + 1) \cdot m = 11 \cdot 19m + (a_1 + m)$.
Отсюда следует, что если $a_1$ дает при делении на 11 остаток 2, то $a_10$ делится на 11; если $a_1$ дает при делении на 11 остаток 3, то $a_9$ делится на 11, и т. д. Таким образом, доказываем, что $a_1$ не может давать при делении на 11 остаток $2, 3, 4, \cdots$ или 10. Если $a_1$ отлично от 11, то $a_1$ не может делиться на 11 (ибо $a_1$ - простое); значит, или равно 11, или дает при делении на 11 остаток 1. Далее, используя то, что $210 = 13 \cdot 16 + 2$ и; следовательно,
$a_{m+1} = a_1 = (13 \cdot 16 + 2)m = 13 \cdot 16m + (a_1 + 2m)$,
можно показать, что $A_1$ при делении на 13 может давать только остатки 2, 4, 6, 8, 10 или 12. Учитывая, что $A_1$ нечетно (ибо все члены прогрессии нечетны), мы заключаем, что $A_1$ или равно 11 или имеет один из следующих видов:
$2 \cdot 11 \cdot 13l + 23 = 286l + 23, 286l + 45, 286l + 67, 286l + 155, 286l + 177$ или $286l + 199$.
Поскольку $a_1 < 1110$, нам остается только проверить следующие возможные значения $a_1$:
11; 23, 309, 595, 881; 45, 331, 615, 903; 67, 353, 637, 925; 155, 441, 727, 1 013; 177, 463, 749, 1 035; 199, 485, 771, 1 057.
Простыми из этих чисел являются только:
11, 23, 881, 331, 67, 353, 727, 1 013, 463 и 199.
Проверив соответствующие 10 прогрессий, мы найдем единственную прогрессию, удовлетворяющую условиям задачи:
199, 409, 619, 829, 1 039, 1 249, 1 459, 1 669, 1 879, 2 089.
б) Задача решается аналогично задаче а). Прежде всего, если $A_1$ отлично от 11, то совершенно аналогично решению задачи а) показывается, что знаменатель $d$ прогрессии должен быть пропорционален $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$ ($d = 2310k$); отсюда вытекает, что
$a_n = a_1 + 23100k > 20000$.
Остается исследовать случай $a_1 = 11$; здесь можно только утверждать, что $d = 210k$. Воспользовавшись тем, что $210 = 13 \cdot 16 + 2$, мы сможем записать следующее выражение для общего члена прогрессии:
$a_{n+1} = 11 + (13 \cdot 16 +2)kn = 13 (16kn + 1) + 2(kn - 1)$.
Но при $k = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10$ удается подобрать такой номер $n < 10$, что $kn - 1$ делится на 13 и, следовательно, $a_{n+1}$ делится на 13 и не является простым; это значение $n$ будет соответственно равно 1, 7, 9, 10, 8, 2, 5, 3, 4. Если же $k = 6$, $d = 210 \cdot 6 = 1260$, то
$a_4 = 11 + 3 \cdot 1260 = 3791$
делится на 17. Таким образом, если $a_1 = 11$, то $k > 10$, а следовательно, $d \geq 2100$ и опять $a_10 > 20000$.
