Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2805
2019-05-06 
Доказать, что квадрат любого простого числа, кроме чисел 2 и 3, при делении на 12 дает в остатке 1.
Решение:
Простые числа кроме 2 и 3 дают при делении на 6 остаток 1 или 5, ибо если бы число давало при делении на 6 остаток 2 или 4, то оно было бы четным, а если бы оно давало остаток 3, то делилось бы на 3. Таким образом, любое простое число, большее 3, можно записать в виде $6n + 1$ или $6n + 5$. Квадраты этих выражений имеют вид $36n^2 + 12n + 1$ и $36n^2 + 60n + 25$. В обоих случаях при делении на 12 получается в остатке 1.
Доказать, что квадрат любого простого числа, кроме чисел 2 и 3, при делении на 12 дает в остатке 1.
Решение:
Простые числа кроме 2 и 3 дают при делении на 6 остаток 1 или 5, ибо если бы число давало при делении на 6 остаток 2 или 4, то оно было бы четным, а если бы оно давало остаток 3, то делилось бы на 3. Таким образом, любое простое число, большее 3, можно записать в виде $6n + 1$ или $6n + 5$. Квадраты этих выражений имеют вид $36n^2 + 12n + 1$ и $36n^2 + 60n + 25$. В обоих случаях при делении на 12 получается в остатке 1.
