Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2804
2019-05-06 
а) Доказать, что если $p$ и $8p - 1$ - простые числа, то $8p + 1$ - составное число.
б) Доказать, что если $p$ и $8p^2 + 1$ - простые числа, то $8p^2 - 1$ - простое число,
Решение:
а) Если бы простое число $p > 3$ давало при делении на 3 остаток 2, то $8p - 1$ делилось бы на 3. Поэтому число $p$ должно давать при делении на 3 остаток 1; но в этом случае $8p+1$ делится на 3. Если же $p = 3$, то $8p + 1 = 25$ - тоже составное число.
б) Если $p$ не делится на 3, то $p^2$ дает при делении на 3 остаток 1 (см. решение задачи 2791 б)) и, следовательно, $8p^2 + 1$ делится на 3. Таким образом, должно быть $p = 3$, $8p^2 + 1$. Но в этом случае и число $8p^2 - 1$ - простое число.
а) Доказать, что если $p$ и $8p - 1$ - простые числа, то $8p + 1$ - составное число.
б) Доказать, что если $p$ и $8p^2 + 1$ - простые числа, то $8p^2 - 1$ - простое число,
Решение:
а) Если бы простое число $p > 3$ давало при делении на 3 остаток 2, то $8p - 1$ делилось бы на 3. Поэтому число $p$ должно давать при делении на 3 остаток 1; но в этом случае $8p+1$ делится на 3. Если же $p = 3$, то $8p + 1 = 25$ - тоже составное число.
б) Если $p$ не делится на 3, то $p^2$ дает при делении на 3 остаток 1 (см. решение задачи 2791 б)) и, следовательно, $8p^2 + 1$ делится на 3. Таким образом, должно быть $p = 3$, $8p^2 + 1$. Но в этом случае и число $8p^2 - 1$ - простое число.
