Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2803
2019-05-06 
Доказать, что если одно из чисел $2^n - 1$ и $2^n + 1$, где $n > 2$, простое, то второе является составным (при $n = 2$ оба числа $2^n - 1 = 3$ и $2^n + 1 = 5$ - простые).
Решение:
$2^n$, разумеется, не может делиться на 3. Если $2^n$ дает при делении на 3 остаток 1, то $2^n - 1$ делится на 3; если $2^n$ дает при делении на 3 остаток 2, то $2^n + 1$ делится на 8. Поэтому во всех случаях одно из двух чисел $2^n - 1$ и $2^n + 1$ делится на 3, и следовательно, если оба эти числа больше 3, то они не могут быть одновременно простыми.
Доказать, что если одно из чисел $2^n - 1$ и $2^n + 1$, где $n > 2$, простое, то второе является составным (при $n = 2$ оба числа $2^n - 1 = 3$ и $2^n + 1 = 5$ - простые).
Решение:
$2^n$, разумеется, не может делиться на 3. Если $2^n$ дает при делении на 3 остаток 1, то $2^n - 1$ делится на 3; если $2^n$ дает при делении на 3 остаток 2, то $2^n + 1$ делится на 8. Поэтому во всех случаях одно из двух чисел $2^n - 1$ и $2^n + 1$ делится на 3, и следовательно, если оба эти числа больше 3, то они не могут быть одновременно простыми.
