Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2801
2019-05-06 
Доказать, что все числа вида $10 001, 100 010 001, 1 000 100010001, \cdots $ составные.
Решение:
Числа нашего ряда имеют вид $1 + 10^4 + 10^8 + \cdots + 10^{4k}$. Рассмотрим наряду с этими числами числа $1 + 10^2 + 10^4 + 10^6 + \cdots + 10^{2k}$. Непосредственной проверкой нетрудно убедится в том, что
$10^{4k+4} - 1 = (10^4 - 1) \cdot (1 + 10^4 + 10^8 + \cdots + 10^{4k})$.
$10^{2k+2} - 1 = (10^2 - 1) \cdot (1 + 10^2 + 10^4 + \cdots + 10^{2k})$.
Кроме того, очевидно,
$10^{4k+4} - 1 = (10^{2k+2} - 1) (10^{2k+2} + 1)$.
Сопоставляя все эти равенства, получаем:
$10^{4k+4} - 1 = (10^4 - 1)(1+ 10^4 + 10^8 + \cdots + 10^k) = (10^2 - 1)(1+ 10^2 + 10^4 + \cdots + 10^2k)(10^{2k+2} + 1)$,
или, так как $\frac {10^4 - 1}{10^2 - 1} = 10^2 + 1 = 101$,
$(1+10^4 + 10^8 + \cdots + 10^{4k}) \cdot 101 = (1+10^2 + 10^4 + \cdots + 10^{2k})(10^{2k+2} + 1)$.
Так как 101 есть простое число, то или $1 + 10^2 + 10^4 + \cdots + 10^{2k}$, или $10^{2k+2} + 1$ делится на 101; при этом, если $k > 1$, то частное больше 1. Сократив на 101, мы получим, что число $1 + 10^4 + 10^8 + \cdots + 10^{4k}$ при $k > 1$ разлагается, по крайней мере, на два множителя, что и требовалось доказать. При $k = 1$ мы имеем число $10^4 + 1 = 10001$, которое тоже является составным $(10001 = 73 \cdot 137)$.
Доказать, что все числа вида $10 001, 100 010 001, 1 000 100010001, \cdots $ составные.
Решение:
Числа нашего ряда имеют вид $1 + 10^4 + 10^8 + \cdots + 10^{4k}$. Рассмотрим наряду с этими числами числа $1 + 10^2 + 10^4 + 10^6 + \cdots + 10^{2k}$. Непосредственной проверкой нетрудно убедится в том, что
$10^{4k+4} - 1 = (10^4 - 1) \cdot (1 + 10^4 + 10^8 + \cdots + 10^{4k})$.
$10^{2k+2} - 1 = (10^2 - 1) \cdot (1 + 10^2 + 10^4 + \cdots + 10^{2k})$.
Кроме того, очевидно,
$10^{4k+4} - 1 = (10^{2k+2} - 1) (10^{2k+2} + 1)$.
Сопоставляя все эти равенства, получаем:
$10^{4k+4} - 1 = (10^4 - 1)(1+ 10^4 + 10^8 + \cdots + 10^k) = (10^2 - 1)(1+ 10^2 + 10^4 + \cdots + 10^2k)(10^{2k+2} + 1)$,
или, так как $\frac {10^4 - 1}{10^2 - 1} = 10^2 + 1 = 101$,
$(1+10^4 + 10^8 + \cdots + 10^{4k}) \cdot 101 = (1+10^2 + 10^4 + \cdots + 10^{2k})(10^{2k+2} + 1)$.
Так как 101 есть простое число, то или $1 + 10^2 + 10^4 + \cdots + 10^{2k}$, или $10^{2k+2} + 1$ делится на 101; при этом, если $k > 1$, то частное больше 1. Сократив на 101, мы получим, что число $1 + 10^4 + 10^8 + \cdots + 10^{4k}$ при $k > 1$ разлагается, по крайней мере, на два множителя, что и требовалось доказать. При $k = 1$ мы имеем число $10^4 + 1 = 10001$, которое тоже является составным $(10001 = 73 \cdot 137)$.
