Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2800
2019-05-06 
Доказать, что существует делящееся на $5^{1000}$ число, десятичная запись которого не содержит нулей.
Решение:
Очевидно, что десятичная запись всех чисел $5^n$, где $n$ - натуральное, оканчивается цифрой 5; поэтому и запись числа $a = 5^{1000}$ оканчивается цифрой 5 (не нулем!). Предположим теперь, что в записи числа $a$ встречаются и нули; пусть первый из них (считая с конца!) стоит на $i$-м месте. Ясно, что число $5^{1000} \cdot 10^{i-1}$ оканчивается цифрами $\underbrace{5000 \cdots 0}_{i-1 \:нулей}$; поэтому $i - 1$ последних цифр десятичной записи суммы $a_1 = 5^{1000} + 5^{1000} \cdot 10^{i-1}$ не отличаются от $i-1$ последних цифр числа $a$ (т. е. все они отличны от нуля), a $i$-я с конца цифра числа $a_1$, есть 5 (т. е. тоже не нуль!). Исправив таким образом $i$-ю цифру (для чего нам пришлось заменить число $a$ числом $a_1$ десятичная запись которого содержит больше цифр), мы перейдем к следующей от конца цифре (разумеется, цифре числа $a_1$), которая равна нулю (если только такая цифра есть), и точно таким же путем поправим и ее: если равна нулю $j$-я от конца цифра числа $a_1$ (где, конечно, $j > i$), то это число мы заменим числом $a_2 = a_1 + 5^{1000} \cdot 10^{j-1}$, которое также делится на $5^{1000}$ и у которого уже $j$ последних цифр отличны от нуля (на $j$-м от конца месте стоит цифра 5).
Если продолжая этот процесс, мы придем к какому-то числу $a_k$ (где $k = 0, 1, 2, \cdots$; под $a_0$ мы понимаем само число $a = 5^{1000}$), десятичная запись которого не содержит пулей, то утверждение задачи доказано; но так как число цифр чисел $a_0 = a, a_1, a_2, \cdots$ все время возрастает, то наш процесс может и никогда не кончиться. Однако если мы дошли в наших построениях до какого-то числа $a_l$, 1000 последних цифр которого отличны от нуля, то далее мы можем и не продолжать. В самом деле, число $a_l = 10^{1000} \cdot A + B$, где десятичную запись числа $B$ составляют 1000 последних цифр числа $a_l$, (и, значит, все цифры числа $B$ отличны от нуля), а десятичная запись числа $A$ состоит из всех предшествующих 1000-й цифр числа $a_l$. Отсюда следует, что
$B = a_l - 10^{1000} A$,
и, значит, число $B$ делится на $5^{1000}$ (поскольку на $5^{1000}$ делятся и $a_l$; и $10^{1000} \cdot A = 2^{1000} \cdot 5^{1000} \cdot A$).
Доказать, что существует делящееся на $5^{1000}$ число, десятичная запись которого не содержит нулей.
Решение:
Очевидно, что десятичная запись всех чисел $5^n$, где $n$ - натуральное, оканчивается цифрой 5; поэтому и запись числа $a = 5^{1000}$ оканчивается цифрой 5 (не нулем!). Предположим теперь, что в записи числа $a$ встречаются и нули; пусть первый из них (считая с конца!) стоит на $i$-м месте. Ясно, что число $5^{1000} \cdot 10^{i-1}$ оканчивается цифрами $\underbrace{5000 \cdots 0}_{i-1 \:нулей}$; поэтому $i - 1$ последних цифр десятичной записи суммы $a_1 = 5^{1000} + 5^{1000} \cdot 10^{i-1}$ не отличаются от $i-1$ последних цифр числа $a$ (т. е. все они отличны от нуля), a $i$-я с конца цифра числа $a_1$, есть 5 (т. е. тоже не нуль!). Исправив таким образом $i$-ю цифру (для чего нам пришлось заменить число $a$ числом $a_1$ десятичная запись которого содержит больше цифр), мы перейдем к следующей от конца цифре (разумеется, цифре числа $a_1$), которая равна нулю (если только такая цифра есть), и точно таким же путем поправим и ее: если равна нулю $j$-я от конца цифра числа $a_1$ (где, конечно, $j > i$), то это число мы заменим числом $a_2 = a_1 + 5^{1000} \cdot 10^{j-1}$, которое также делится на $5^{1000}$ и у которого уже $j$ последних цифр отличны от нуля (на $j$-м от конца месте стоит цифра 5).
Если продолжая этот процесс, мы придем к какому-то числу $a_k$ (где $k = 0, 1, 2, \cdots$; под $a_0$ мы понимаем само число $a = 5^{1000}$), десятичная запись которого не содержит пулей, то утверждение задачи доказано; но так как число цифр чисел $a_0 = a, a_1, a_2, \cdots$ все время возрастает, то наш процесс может и никогда не кончиться. Однако если мы дошли в наших построениях до какого-то числа $a_l$, 1000 последних цифр которого отличны от нуля, то далее мы можем и не продолжать. В самом деле, число $a_l = 10^{1000} \cdot A + B$, где десятичную запись числа $B$ составляют 1000 последних цифр числа $a_l$, (и, значит, все цифры числа $B$ отличны от нуля), а десятичная запись числа $A$ состоит из всех предшествующих 1000-й цифр числа $a_l$. Отсюда следует, что
$B = a_l - 10^{1000} A$,
и, значит, число $B$ делится на $5^{1000}$ (поскольку на $5^{1000}$ делятся и $a_l$; и $10^{1000} \cdot A = 2^{1000} \cdot 5^{1000} \cdot A$).
