Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2799
2019-05-06 
1953 цифры выписаны по кругу. Доказать, что если при чтении этих цифр в направлении вращения часовой стрелки, начиная с какой-то цифры, получится 1953-значное число, делящееся на 27, то и при чтении этих цифр в том же направлении, начиная с любого другого места, тоже получится 1953-значное число, делящееся на 27.
Решение:
Ясно, что достаточно доказать утверждение задачи в предположении, что во второй раз мы начали чтение со второй цифры первоначального числа: ведь, сдвигаясь подобным образом на одну цифру, мы можем последовательно перейти от заданной начальной цифры числа к любой другой, принимаемой в новом чтении за начальную; если же на каждом шаге мы будем получать делящееся на 27 число, то оно будет делиться на этот множитель и после любого количества подобных «шагов». Итак, пусть первая цифра прочитанного первоначально 1953-значного числа $A_1 = a$; образуемое остальными цифрами 1952-значное число обозначим через $B$. В таком случае наше «первое» число равно $a \cdot 10^{1952} + B$, а прочитанное, начиная со 2-й цифры (с начала числа $B$), число будет равно $B \cdot 10 + a$.
Нам дано, что число $a \cdot 10^{1952} + B$ делится на 27. Но число $10^{1952} - 1$ состоит из 1952 девяток; разделив это число на 9, мы получим число из 1952 выписанных подряд единиц, дающее при делении на 3 такой же остаток, как и сумма его цифр 1952, т. е. остаток 2; следовательно, число $10^1952 - 1$ дает при делении на 27 остаток $2 \cdot 9 = 18$, а число $10^{1952}$ остаток 19. Поэтому, обозначив остаток от деления числа $В$ на 27 через $b$, мы получим, что $a \cdot 10^{1952} + B$ дает при делении на 27 такой же остаток, как и число $19a + b$; таким образом, условие задачи утверждает, что число $M = 19a + b$ делится на 27.
Перейдем теперь к «новому» числу $B \cdot 10 + a$. Это число даёт при делении па 27 тот же остаток, что и число $N = 10b + a$; таким образом, наша задача сводится к доказательству того, что если $M = 19a + b$ делится на 27, то и $N = 10b = a$ делится на 27. Но последнее утверждение очевидно, ибо $10M - N = 189a$ делится на 27 (так как $189 = 27 \cdot 7$), а $N = 10M - 189a$.
1953 цифры выписаны по кругу. Доказать, что если при чтении этих цифр в направлении вращения часовой стрелки, начиная с какой-то цифры, получится 1953-значное число, делящееся на 27, то и при чтении этих цифр в том же направлении, начиная с любого другого места, тоже получится 1953-значное число, делящееся на 27.
Решение:
Ясно, что достаточно доказать утверждение задачи в предположении, что во второй раз мы начали чтение со второй цифры первоначального числа: ведь, сдвигаясь подобным образом на одну цифру, мы можем последовательно перейти от заданной начальной цифры числа к любой другой, принимаемой в новом чтении за начальную; если же на каждом шаге мы будем получать делящееся на 27 число, то оно будет делиться на этот множитель и после любого количества подобных «шагов». Итак, пусть первая цифра прочитанного первоначально 1953-значного числа $A_1 = a$; образуемое остальными цифрами 1952-значное число обозначим через $B$. В таком случае наше «первое» число равно $a \cdot 10^{1952} + B$, а прочитанное, начиная со 2-й цифры (с начала числа $B$), число будет равно $B \cdot 10 + a$.
Нам дано, что число $a \cdot 10^{1952} + B$ делится на 27. Но число $10^{1952} - 1$ состоит из 1952 девяток; разделив это число на 9, мы получим число из 1952 выписанных подряд единиц, дающее при делении на 3 такой же остаток, как и сумма его цифр 1952, т. е. остаток 2; следовательно, число $10^1952 - 1$ дает при делении на 27 остаток $2 \cdot 9 = 18$, а число $10^{1952}$ остаток 19. Поэтому, обозначив остаток от деления числа $В$ на 27 через $b$, мы получим, что $a \cdot 10^{1952} + B$ дает при делении на 27 такой же остаток, как и число $19a + b$; таким образом, условие задачи утверждает, что число $M = 19a + b$ делится на 27.
Перейдем теперь к «новому» числу $B \cdot 10 + a$. Это число даёт при делении па 27 тот же остаток, что и число $N = 10b + a$; таким образом, наша задача сводится к доказательству того, что если $M = 19a + b$ делится на 27, то и $N = 10b = a$ делится на 27. Но последнее утверждение очевидно, ибо $10M - N = 189a$ делится на 27 (так как $189 = 27 \cdot 7$), а $N = 10M - 189a$.
