Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2798
2019-05-06 
а) Доказать, что дробь $\frac {a^3 + 2a}{a^4 + 3a^2 + 1}$ несократима ни при каком целом значении $a$.
б) Указать все (натуральные) числа, на которые может оказаться сократимой дробь $\frac {5n + 6}{8n + 7}$ при целом $n$.
Решение:
Дробь $\frac {a^3+2a}{a^4+3a^2+1}$ сократима или несократима одновременно с дробью $\frac {a^4 + 3a^2 + 1}{a^3 + 2a} = a + \frac {a^2 = 1}{a^3 + 2a}$ или – одновременно с дробью $\frac {a^2 + 1}{a^3 + 2a}$. Дробь $\frac {a^2 + 1}{a^3 + 2a}$ сократима или несократима одновременно с дробью $\frac {a^3+2a}{a^2+1} = a + \frac {a}{a^2 + 1}$, или - одновременно с дробью $\frac {a}{a^2 + 1}$. Дробь $\frac{a}{a^2+1}$ сократима или несократима одновременно с дробью $\frac{a^2+1}{a} = a + \frac{1}{a}$, или - одновременно с дробью $\frac{1}{a}$, которая при целом $а$, очевидно, несократима.
б) Если как число $u = 5n + 6$, так и число $s = 8n + 7$ делятся на целое число $d$, то на $d$ делится также их разность $p = s - u = 3n + 1$ и разность $p_1 = u - p = 2n + 5$, а также разности $p_2 = p - p_1 = n - 4$; $p_3 = p_1 - p_2 = n + 9$; $p_4 = p_3 - p_2 = 13$. Таким образом, на $d$ обязательно должно делиться (простое!) число 13, откуда видно, что $d$ может иметь лишь одно только значение 13. То, что значение $d = 13$ возможно, легко показать на примере; так, если $n = 4$, то дробь $\frac {5n + 6}{8n + 7} = \frac{26}{39}$ сократима на 13.
а) Доказать, что дробь $\frac {a^3 + 2a}{a^4 + 3a^2 + 1}$ несократима ни при каком целом значении $a$.
б) Указать все (натуральные) числа, на которые может оказаться сократимой дробь $\frac {5n + 6}{8n + 7}$ при целом $n$.
Решение:
Дробь $\frac {a^3+2a}{a^4+3a^2+1}$ сократима или несократима одновременно с дробью $\frac {a^4 + 3a^2 + 1}{a^3 + 2a} = a + \frac {a^2 = 1}{a^3 + 2a}$ или – одновременно с дробью $\frac {a^2 + 1}{a^3 + 2a}$. Дробь $\frac {a^2 + 1}{a^3 + 2a}$ сократима или несократима одновременно с дробью $\frac {a^3+2a}{a^2+1} = a + \frac {a}{a^2 + 1}$, или - одновременно с дробью $\frac {a}{a^2 + 1}$. Дробь $\frac{a}{a^2+1}$ сократима или несократима одновременно с дробью $\frac{a^2+1}{a} = a + \frac{1}{a}$, или - одновременно с дробью $\frac{1}{a}$, которая при целом $а$, очевидно, несократима.
б) Если как число $u = 5n + 6$, так и число $s = 8n + 7$ делятся на целое число $d$, то на $d$ делится также их разность $p = s - u = 3n + 1$ и разность $p_1 = u - p = 2n + 5$, а также разности $p_2 = p - p_1 = n - 4$; $p_3 = p_1 - p_2 = n + 9$; $p_4 = p_3 - p_2 = 13$. Таким образом, на $d$ обязательно должно делиться (простое!) число 13, откуда видно, что $d$ может иметь лишь одно только значение 13. То, что значение $d = 13$ возможно, легко показать на примере; так, если $n = 4$, то дробь $\frac {5n + 6}{8n + 7} = \frac{26}{39}$ сократима на 13.
