Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2797
2019-05-06 
Доказать, что числа
а) $M = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdots + \frac{1}{n}$;
б) $M = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+m}$;
в) $K = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n+1}$;
($n$, $m$ - целые положительные) не могут быть целыми.
Решение:
а), б). Приведем все слагаемые в сумме
$M = \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ (и $N = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+m}$) к общему знаменателю. Из всех дробей, входящих в нашу сумму, рассмотрим ту, в знаменателе которой стоит самая высокая степень двух (такая дробь может быть только одна). Тогда во все остальные дроби число 2 войдет дополнительным множителем, в то время как в этой дроби дополнительным множителем обязательно будет число нечетное. У всей дроби $M$ (или $N$) знаменатель есть, конечно, число четное, а числитель, как мы видим, состоит из суммы некоторого числа четных чисел и одного нечетного. Следовательно, числитель есть число нечетное, а потому вся дробь не может быть целой.
в) Рассмотрим дробь в сумме $K$, в знаменателе которой стоит самая высокая ($k$-я) степень числа 3. Так как у нас знаменателями являются только нечетные числа, то дробь $\frac{1}{2 \cdot 3^k}$ в сумме $K$ отсутствует. Поэтому при приведении суммы дробей к общему знаменателю дополнительные множители всех дробей, кроме рассмотренной, будет делиться на 3, а дополнительный множитель этой дроби не будет делиться на 3. Следовательно, в сумме получим дробь, знаменатель которой делится на 3, а числитель не делится.
Доказать, что числа
а) $M = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdots + \frac{1}{n}$;
б) $M = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+m}$;
в) $K = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n+1}$;
($n$, $m$ - целые положительные) не могут быть целыми.
Решение:
а), б). Приведем все слагаемые в сумме
$M = \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ (и $N = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+m}$) к общему знаменателю. Из всех дробей, входящих в нашу сумму, рассмотрим ту, в знаменателе которой стоит самая высокая степень двух (такая дробь может быть только одна). Тогда во все остальные дроби число 2 войдет дополнительным множителем, в то время как в этой дроби дополнительным множителем обязательно будет число нечетное. У всей дроби $M$ (или $N$) знаменатель есть, конечно, число четное, а числитель, как мы видим, состоит из суммы некоторого числа четных чисел и одного нечетного. Следовательно, числитель есть число нечетное, а потому вся дробь не может быть целой.
в) Рассмотрим дробь в сумме $K$, в знаменателе которой стоит самая высокая ($k$-я) степень числа 3. Так как у нас знаменателями являются только нечетные числа, то дробь $\frac{1}{2 \cdot 3^k}$ в сумме $K$ отсутствует. Поэтому при приведении суммы дробей к общему знаменателю дополнительные множители всех дробей, кроме рассмотренной, будет делиться на 3, а дополнительный множитель этой дроби не будет делиться на 3. Следовательно, в сумме получим дробь, знаменатель которой делится на 3, а числитель не делится.
