Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2796
2019-05-06 
Доказать, что если сумму простых дробей
$\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}$
($n$ - целое число) обратить в десятичную, то полученная дробь будет смешанной периодической.
Решение:
Имеем:
$\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} = \frac{3n^2 + 6n + 2}{n(n+1)(n+2)}$.
Числитель нашей дроби не делится на 3, а знаменатель делится, так как он является произведением трех последовательных целых чисел. Следовательно, в знаменателе есть множители, отличные от 2 и 5, а потому в разложении получится бесконечная периодическая десятичная дробь.
Из двух целых чисел $n$ и $n+1$ одно должно быть четным. Если четно $n+1$, то $n$ нечетно, следовательно, нечетно $3n^2$, а потому и весь числитель. Если же $n$ четно, то и $n+2$ делится на 2 и, следовательно, знаменатель наверняка делится на $2^2$; числитель же делится только на 2, так как если $n = 2k$, то
$3n^2 + 6n + 2 = 12k^2 + 12k + 2 = 2(6k^2 + 6k + 1)$.
Поэтому знаменатель полученной после сокращения дроби не будет взаимно прост с 10, и десятичная дробь будет смешанной периодической.
Доказать, что если сумму простых дробей
$\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}$
($n$ - целое число) обратить в десятичную, то полученная дробь будет смешанной периодической.
Решение:
Имеем:
$\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} = \frac{3n^2 + 6n + 2}{n(n+1)(n+2)}$.
Числитель нашей дроби не делится на 3, а знаменатель делится, так как он является произведением трех последовательных целых чисел. Следовательно, в знаменателе есть множители, отличные от 2 и 5, а потому в разложении получится бесконечная периодическая десятичная дробь.
Из двух целых чисел $n$ и $n+1$ одно должно быть четным. Если четно $n+1$, то $n$ нечетно, следовательно, нечетно $3n^2$, а потому и весь числитель. Если же $n$ четно, то и $n+2$ делится на 2 и, следовательно, знаменатель наверняка делится на $2^2$; числитель же делится только на 2, так как если $n = 2k$, то
$3n^2 + 6n + 2 = 12k^2 + 12k + 2 = 2(6k^2 + 6k + 1)$.
Поэтому знаменатель полученной после сокращения дроби не будет взаимно прост с 10, и десятичная дробь будет смешанной периодической.
