Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2795
2019-05-06 
Доказать, что если все коэффициенты квадратного уравнения
$ах^2 + bx + с = 0$
- целые нечетные числа, то корни уравнения не могут быть рациональными.
Решение:
По формуле решения квадратного уравнения имеем:
$x = \frac {- b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$;
следовательно, для того чтобы корни уравнения были рациональны, надо, чтобы выражение $b^2 - 4ac$ являлось полным квадратом. Положим $b = 2n + 1, a + 2p + 1, c = 2q +1$; в таком случае будем иметь:
$b^2 - 4ac = (2n+1)^2 - 4(2p+1)(2q+1) = 4n^2 + 4n - 16pq - 8p - 8q - 3 = 8 \left (\frac {n(n+1)}{2} - 2pq - p - q - 1 \right ) + 5$.
Так как это число нечетно ($\frac {n(n+1)}{2}$ есть целое число, то произведение двух последовательных целых чисел всегда четно, то оно может быть квадратом только нечетного числа. Но каждое нечетное число можно представить в виде $4k \pm 1$, квадрат этого числа равен $(4k \pm 1)^2 = 16k^2 \pm 8k + 1 = 8 (2k^2 \pm k) + 1$ и, следовательно, всегда дает при делении на 8 остаток 1. Поскольку число $b^2 - 4ac$ дает при делении на 8 остаток 5, оно не может являться полным квадратом.
Доказать, что если все коэффициенты квадратного уравнения
$ах^2 + bx + с = 0$
- целые нечетные числа, то корни уравнения не могут быть рациональными.
Решение:
По формуле решения квадратного уравнения имеем:
$x = \frac {- b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$;
следовательно, для того чтобы корни уравнения были рациональны, надо, чтобы выражение $b^2 - 4ac$ являлось полным квадратом. Положим $b = 2n + 1, a + 2p + 1, c = 2q +1$; в таком случае будем иметь:
$b^2 - 4ac = (2n+1)^2 - 4(2p+1)(2q+1) = 4n^2 + 4n - 16pq - 8p - 8q - 3 = 8 \left (\frac {n(n+1)}{2} - 2pq - p - q - 1 \right ) + 5$.
Так как это число нечетно ($\frac {n(n+1)}{2}$ есть целое число, то произведение двух последовательных целых чисел всегда четно, то оно может быть квадратом только нечетного числа. Но каждое нечетное число можно представить в виде $4k \pm 1$, квадрат этого числа равен $(4k \pm 1)^2 = 16k^2 \pm 8k + 1 = 8 (2k^2 \pm k) + 1$ и, следовательно, всегда дает при делении на 8 остаток 1. Поскольку число $b^2 - 4ac$ дает при делении на 8 остаток 5, оно не может являться полным квадратом.
