Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2794
2019-05-06 
Доказать, что если обе стороны прямоугольника и его диагональ выражаются целыми числами, то площадь прямоугольника делится на 12.
Решение:
Обозначим стороны прямоугольника через $x$ и $у$, а диагональ - через $z$; тогда по теореме Пифагора будем иметь:
$x^2 + y^2 = z^2$.
Нам надо доказать, что произведение $xу$ делится на 12. Покажем сначала, что это произведение делится на 3, а затем - что оно делится на 4. Так как
$(3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ и $(3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$,
то квадрат каждого числа, не кратного 3, дает при делении на 3 остаток 1. Поэтому, если бы ни $x$ ни $y$ не делились на 3, то сумма $x^2 + y^2$ давала бы при делении на 3 остаток 2 и поэтому не могла бы быть равна квадрату никакого целого числа. Следовательно, если $x^2 + y^2$ равно квадрату целого числа $z$, то хотя бы одно из чисел $x$ и $у$ делится на 3, а значит, и $xу$ делится на 3.
Далее ясно, что оба числа $x$ и $у$ одновременно нечетными быть не могут; если $x = 2m + 1, y = 2n = 1$, то
$x^2 + y^2 = 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 + 4n + 1 = 4(m^2 + m + n^2 + n) + 2$
не может равняться квадрату никакого целого числа (квадрат нечетного числа нечетен, а квадрат четного числа делится на 4). Если и $x$, и $у$ - четные числа, то их произведение делится на 4. Предположим теперь, что $x$ четно, а $y$ - нечетно: $x = 2m, y = 2n+1$. Число $z$ при этом будет нечетным (ибо $z^2 = x^2 + y^2$ нечетно): $z = 2p + 1$. В этом случае имеем:
$(2m)^2 = (2p+1)^2 - (2n + 1)^2 = 4p^2 + 4p + 1 - 4n^2 - 4n - 1$,
или
$m^2 = p(p+1) - n(n+1)$.
Отсюда вытекает, что $m^2$ четно (произведения последовательных целых чисел $p(p+1)$ и $n(n+1)$ оба четные); следовательно, $m$ четно и $x = 2m$ делится на 4. Значит, и в этом случае произведение $ху$ делится на 4.
Доказать, что если обе стороны прямоугольника и его диагональ выражаются целыми числами, то площадь прямоугольника делится на 12.
Решение:
Обозначим стороны прямоугольника через $x$ и $у$, а диагональ - через $z$; тогда по теореме Пифагора будем иметь:
$x^2 + y^2 = z^2$.
Нам надо доказать, что произведение $xу$ делится на 12. Покажем сначала, что это произведение делится на 3, а затем - что оно делится на 4. Так как
$(3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ и $(3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$,
то квадрат каждого числа, не кратного 3, дает при делении на 3 остаток 1. Поэтому, если бы ни $x$ ни $y$ не делились на 3, то сумма $x^2 + y^2$ давала бы при делении на 3 остаток 2 и поэтому не могла бы быть равна квадрату никакого целого числа. Следовательно, если $x^2 + y^2$ равно квадрату целого числа $z$, то хотя бы одно из чисел $x$ и $у$ делится на 3, а значит, и $xу$ делится на 3.
Далее ясно, что оба числа $x$ и $у$ одновременно нечетными быть не могут; если $x = 2m + 1, y = 2n = 1$, то
$x^2 + y^2 = 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 + 4n + 1 = 4(m^2 + m + n^2 + n) + 2$
не может равняться квадрату никакого целого числа (квадрат нечетного числа нечетен, а квадрат четного числа делится на 4). Если и $x$, и $у$ - четные числа, то их произведение делится на 4. Предположим теперь, что $x$ четно, а $y$ - нечетно: $x = 2m, y = 2n+1$. Число $z$ при этом будет нечетным (ибо $z^2 = x^2 + y^2$ нечетно): $z = 2p + 1$. В этом случае имеем:
$(2m)^2 = (2p+1)^2 - (2n + 1)^2 = 4p^2 + 4p + 1 - 4n^2 - 4n - 1$,
или
$m^2 = p(p+1) - n(n+1)$.
Отсюда вытекает, что $m^2$ четно (произведения последовательных целых чисел $p(p+1)$ и $n(n+1)$ оба четные); следовательно, $m$ четно и $x = 2m$ делится на 4. Значит, и в этом случае произведение $ху$ делится на 4.
