Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2793
2019-05-06 
Квадрат целого числа оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами. Какими?
Решение:
Полный квадрат может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 9, 6 и 5. Далее, квадрат каждого четного числа, очевидно, делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток $1 ((2k)^2 = 4k^2, (2k+1)^2 = 4(k^2+k)+1)$; поэтому квадрат никакого числа не может оканчиваться цифрами 11, 99, 66 и 55 (числа, оканчивающиеся двумя цифрами 11, 99, 66 или 55, дают при делении на 4 соответственно остатки 3, 3, 2 и 3). Рассмотрим, наконец, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 16. Каждое целое число можно представить в одном из следующих видов:
$8k, 8k \pm 1, 8k \pm 2, 8k \pm 3$ или $8k + 4$;
квадраты этих чисел имеют вид
$16 \cdot (4k^2), 16 (4k^2 \pm k) + 1, 16(4k^2 \pm 2k) + 4, 16(4k^2 \pm 3k) + 9$ или $16 (4k^2 = 4k + 1)$.
Таким образом, мы видим, что квадрат целого числа или делится на 16 или дает при делении на 16 один из остатков 1, 4 и 9. Число же, оканчивающееся цифрами 4444, дает при делении на 16 остаток 12 и, следовательно, не может быть полным квадратом.
Итак, если полный квадрат оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами, то эти цифры - четыре нуля (например, $100^2 = 10000$).
Ответ: Четырьмя нулями.
Квадрат целого числа оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами. Какими?
Решение:
Полный квадрат может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 9, 6 и 5. Далее, квадрат каждого четного числа, очевидно, делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток $1 ((2k)^2 = 4k^2, (2k+1)^2 = 4(k^2+k)+1)$; поэтому квадрат никакого числа не может оканчиваться цифрами 11, 99, 66 и 55 (числа, оканчивающиеся двумя цифрами 11, 99, 66 или 55, дают при делении на 4 соответственно остатки 3, 3, 2 и 3). Рассмотрим, наконец, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 16. Каждое целое число можно представить в одном из следующих видов:
$8k, 8k \pm 1, 8k \pm 2, 8k \pm 3$ или $8k + 4$;
квадраты этих чисел имеют вид
$16 \cdot (4k^2), 16 (4k^2 \pm k) + 1, 16(4k^2 \pm 2k) + 4, 16(4k^2 \pm 3k) + 9$ или $16 (4k^2 = 4k + 1)$.
Таким образом, мы видим, что квадрат целого числа или делится на 16 или дает при делении на 16 один из остатков 1, 4 и 9. Число же, оканчивающееся цифрами 4444, дает при делении на 16 остаток 12 и, следовательно, не может быть полным квадратом.
Итак, если полный квадрат оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами, то эти цифры - четыре нуля (например, $100^2 = 10000$).
Ответ: Четырьмя нулями.
