Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2792
2019-05-06 
а) Пусть $A$ и $B$ - два различных семизначных числа, каждое из которых составлено из всех цифр от 1 до 7. Доказать, что $A$ не делится на $B$.
б) Из всех цифр от 1 до 9 составить три трехзначных числа, относящихся друг к другу как 1:2:3.
Решение:
а) Сумма цифр каждого из чисел $А$ и $В$ равна
$1+2+3+4+5+6+7 = 28$;
отсюда следует, что оба числа дают при делении на 9 остаток 1 (каждое число дает при делении на 9 такой же остаток, как и сумма его цифр). Но если бы было $\frac{A}{B} = n$ или, что то же самое, $A = nB$, где $n$ - целое число, отличное от 1, то из того, что $B = 9N + 1$, следовало бы, что $A = nB = 9M + n$; таким образом, n должно давать при делении на 9 остаток 1. Наименьшее такое число $n$ есть 10; но $\frac{A}{B} < 10$, так как оба числа $А$ и $В$ состоят из 7 цифр.
б) Обозначим искомые числа через $N, 2N, 3N$. Каждое целое число дает при делении на 9 такой же остаток, как и его сумма цифр; поэтому сумма $N + 2N + 3N$ дает при делении на 9 такой же остаток, как и сумма $1+2+3+ \cdots + 9 = 45$, т. е. $6N$ (а следовательно, и $3N$) делится на 9.
Так как $3N$ трехзначно, то первая цифра числа $N$ не может быть больше 3; поэтому последняя цифра $N$ не может равняться 1 (так как в этом случае $2N$ оканчивается цифрой 2, a $3N$ - цифрой 3 и все три цифры 1, 2, 3 оказываются занятыми). Число $N$ не может также оканчиваться цифрой 5 (в этом случае $2N$ оканчивалось бы нулем). Предположим теперь, что последняя цифра $N$ есть 2; в таком случае последние цифры $2N$ и $3N$ равны соответственно 4 и 6. Для двух первых цифр $3N$ остаются возможными значения 1, 3, 5, 7, 8 и 9; так как сумма всех цифр $3N$ кратна 9, то первые две цифры $3N$ есть 3 и 9 или 5 и 7. Проверяя все представляющиеся случаи, находим одну тройку чисел, удовлетворяющих условию задачи: 192, 384, 576. Аналогично исследуются случаи, когда $N$ оканчивается на 3, 4, 6, 7, 8 или 9; при этом обнаруживаются еще три решения задачи: 273, 546, 819; 327, 654, 981 и 219, 438, 657.
а) Пусть $A$ и $B$ - два различных семизначных числа, каждое из которых составлено из всех цифр от 1 до 7. Доказать, что $A$ не делится на $B$.
б) Из всех цифр от 1 до 9 составить три трехзначных числа, относящихся друг к другу как 1:2:3.
Решение:
а) Сумма цифр каждого из чисел $А$ и $В$ равна
$1+2+3+4+5+6+7 = 28$;
отсюда следует, что оба числа дают при делении на 9 остаток 1 (каждое число дает при делении на 9 такой же остаток, как и сумма его цифр). Но если бы было $\frac{A}{B} = n$ или, что то же самое, $A = nB$, где $n$ - целое число, отличное от 1, то из того, что $B = 9N + 1$, следовало бы, что $A = nB = 9M + n$; таким образом, n должно давать при делении на 9 остаток 1. Наименьшее такое число $n$ есть 10; но $\frac{A}{B} < 10$, так как оба числа $А$ и $В$ состоят из 7 цифр.
б) Обозначим искомые числа через $N, 2N, 3N$. Каждое целое число дает при делении на 9 такой же остаток, как и его сумма цифр; поэтому сумма $N + 2N + 3N$ дает при делении на 9 такой же остаток, как и сумма $1+2+3+ \cdots + 9 = 45$, т. е. $6N$ (а следовательно, и $3N$) делится на 9.
Так как $3N$ трехзначно, то первая цифра числа $N$ не может быть больше 3; поэтому последняя цифра $N$ не может равняться 1 (так как в этом случае $2N$ оканчивается цифрой 2, a $3N$ - цифрой 3 и все три цифры 1, 2, 3 оказываются занятыми). Число $N$ не может также оканчиваться цифрой 5 (в этом случае $2N$ оканчивалось бы нулем). Предположим теперь, что последняя цифра $N$ есть 2; в таком случае последние цифры $2N$ и $3N$ равны соответственно 4 и 6. Для двух первых цифр $3N$ остаются возможными значения 1, 3, 5, 7, 8 и 9; так как сумма всех цифр $3N$ кратна 9, то первые две цифры $3N$ есть 3 и 9 или 5 и 7. Проверяя все представляющиеся случаи, находим одну тройку чисел, удовлетворяющих условию задачи: 192, 384, 576. Аналогично исследуются случаи, когда $N$ оканчивается на 3, 4, 6, 7, 8 или 9; при этом обнаруживаются еще три решения задачи: 273, 546, 819; 327, 654, 981 и 219, 438, 657.
