Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2791
2019-05-06 
а) Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть полным квадратом целого числа.
б) Доказать, что сумма одинаковых четных степеней трех последовательных целых чисел не может равняться четной степени целого числа.
в) Доказать, что сумма одинаковых четных степеней девяти последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа (разумеется, с показателем, большим 1).
Решение:
а) Обозначим пять последовательных целых чисел через
$n-2, n-1,n,n+1,n+2$.
Тогда
$(n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 5n^2 = 10 = 5 (n^2 + 2)$.
Если бы число $5(n^2 + 2)$ было полным квадратом, то оно делилось бы на 25, следовательно, $n^2 + 2$ делилось бы на 5. Но это возможно лишь в том случае, если последняя цифра числа $n^2$ есть либо 8, либо 3, а никакой квадрат целого числа не оканчивается на эти цифры.
б) Из трех последовательных целых чисел одно наверное делится на 3, второе дает при делении на 3 остаток 1 и третье - остаток 2 или же, что равносильно, остаток - 1. При перемножении чисел остатки от деления их на какое-либо число тоже перемножаются; в самом деле,
$(pk+r)(qk+s) = pqk^2 + pks = qkr = rs = k (pqk + ps + qr) + rs$.
Поэтому, если число при делении на 3 дает остаток 1, то любая его степень при делении на 3 тоже дает остаток 1; если же число при делении на 3 дает остаток - 1, то любая его нечетная степень при делении на 3 дает остаток - 1, а любая четная - остаток 1.
Таким образом, из трех четных степеней последовательных целых чисел одна делится на 3, а две другие дают при делении на 3 остаток 1. Следовательно, сумма четных степеней трех последовательных целых чисел дает при делении на 3 остаток 2, или, что то же самое, остаток - 1. А мы уже видели, что такой остаток не может дать при делении на 3 четная степень никакого целого числа.
в) Как мы видели в решении задачи б), сумма четных степеней трех последовательных целых чисел дает при делении на 3 остаток 2. Отсюда вытекает, что сумма четных степеней девяти последовательных чисел дает при делении на 3 остаток $2 + 2 + 2 = 6$, т. е. делится на 3. Докажем теперь, что сумма одинаковых четных степеней девяти последовательных целых чисел не делится на $g$ = 9; отсюда будет сразу следовать утверждение задачи .
Из девяти последовательных целых чисел одно обязательно делится на 9, одно дает при делении на 9 остаток 1, одно - остаток 2, и т. д. Отсюда следует, что если $2k$ есть общая степень в которую возводятся девять чисел, то наша сумма дает при делении на 9 тот же самый остаток, что и сумма
$0 + 1^{2k} + 2^{2k} + 3^{2k} + 4^{2k} + 5^{2k} + 6^{2k} + 7^{2k} + 8^{2k}$,
или сумма
$2 (1^k + 4^k + 7^k)$
(так как $3^2$ и $6^2$ делятся на 9; $1^2$ и $8^2 = 64$ дают при делении на 9 остаток 4; $2^2 = 4$ и $7^2 = 49$ дают при делении на 9 остаток 4; $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$ дают при делении на 9 остаток 7).
Отметим теперь, что $1^3 = 1, 4^3 = 64$ и $7^3 = 343$ все дают при делении на 9 остаток 1. Отсюда следует, что если $k = 3l$, то $1^k + 4^k + 7^k = 1^l + 64^l + 343^l$ даст при делении на 9 тот же остаток, что и сумма $1^l + 1^l + 1^l = 3$, т. е. не делится на 9; если $k = 3l + 1$, то $1^k + 4^k + 7^k = 1^l \cdot 1 + 64^l \cdot 4 + 343^l \cdot 7$ дает при делении на 9 тот же остаток, что и сумма $1 \cdot l + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 7 = 12$, т. е. не делится на 9; если $k = 3l + 2$, то $1^k + 4^k + 7^k = 1^l \cdot 1 + 64^l \cdot 4^2 + 343^l \cdot 7^2$ дает при делении на 9 тот же остаток, что и сумма $1 \cdot 1 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 49 = 66$, т. е. не делится на 9.
а) Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть полным квадратом целого числа.
б) Доказать, что сумма одинаковых четных степеней трех последовательных целых чисел не может равняться четной степени целого числа.
в) Доказать, что сумма одинаковых четных степеней девяти последовательных целых чисел не может равняться никакой степени целого числа (разумеется, с показателем, большим 1).
Решение:
а) Обозначим пять последовательных целых чисел через
$n-2, n-1,n,n+1,n+2$.
Тогда
$(n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 5n^2 = 10 = 5 (n^2 + 2)$.
Если бы число $5(n^2 + 2)$ было полным квадратом, то оно делилось бы на 25, следовательно, $n^2 + 2$ делилось бы на 5. Но это возможно лишь в том случае, если последняя цифра числа $n^2$ есть либо 8, либо 3, а никакой квадрат целого числа не оканчивается на эти цифры.
б) Из трех последовательных целых чисел одно наверное делится на 3, второе дает при делении на 3 остаток 1 и третье - остаток 2 или же, что равносильно, остаток - 1. При перемножении чисел остатки от деления их на какое-либо число тоже перемножаются; в самом деле,
$(pk+r)(qk+s) = pqk^2 + pks = qkr = rs = k (pqk + ps + qr) + rs$.
Поэтому, если число при делении на 3 дает остаток 1, то любая его степень при делении на 3 тоже дает остаток 1; если же число при делении на 3 дает остаток - 1, то любая его нечетная степень при делении на 3 дает остаток - 1, а любая четная - остаток 1.
Таким образом, из трех четных степеней последовательных целых чисел одна делится на 3, а две другие дают при делении на 3 остаток 1. Следовательно, сумма четных степеней трех последовательных целых чисел дает при делении на 3 остаток 2, или, что то же самое, остаток - 1. А мы уже видели, что такой остаток не может дать при делении на 3 четная степень никакого целого числа.
в) Как мы видели в решении задачи б), сумма четных степеней трех последовательных целых чисел дает при делении на 3 остаток 2. Отсюда вытекает, что сумма четных степеней девяти последовательных чисел дает при делении на 3 остаток $2 + 2 + 2 = 6$, т. е. делится на 3. Докажем теперь, что сумма одинаковых четных степеней девяти последовательных целых чисел не делится на $g$ = 9; отсюда будет сразу следовать утверждение задачи .
Из девяти последовательных целых чисел одно обязательно делится на 9, одно дает при делении на 9 остаток 1, одно - остаток 2, и т. д. Отсюда следует, что если $2k$ есть общая степень в которую возводятся девять чисел, то наша сумма дает при делении на 9 тот же самый остаток, что и сумма
$0 + 1^{2k} + 2^{2k} + 3^{2k} + 4^{2k} + 5^{2k} + 6^{2k} + 7^{2k} + 8^{2k}$,
или сумма
$2 (1^k + 4^k + 7^k)$
(так как $3^2$ и $6^2$ делятся на 9; $1^2$ и $8^2 = 64$ дают при делении на 9 остаток 4; $2^2 = 4$ и $7^2 = 49$ дают при делении на 9 остаток 4; $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$ дают при делении на 9 остаток 7).
Отметим теперь, что $1^3 = 1, 4^3 = 64$ и $7^3 = 343$ все дают при делении на 9 остаток 1. Отсюда следует, что если $k = 3l$, то $1^k + 4^k + 7^k = 1^l + 64^l + 343^l$ даст при делении на 9 тот же остаток, что и сумма $1^l + 1^l + 1^l = 3$, т. е. не делится на 9; если $k = 3l + 1$, то $1^k + 4^k + 7^k = 1^l \cdot 1 + 64^l \cdot 4 + 343^l \cdot 7$ дает при делении на 9 тот же остаток, что и сумма $1 \cdot l + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 7 = 12$, т. е. не делится на 9; если $k = 3l + 2$, то $1^k + 4^k + 7^k = 1^l \cdot 1 + 64^l \cdot 4^2 + 343^l \cdot 7^2$ дает при делении на 9 тот же остаток, что и сумма $1 \cdot 1 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 49 = 66$, т. е. не делится на 9.
