Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2790
2019-05-06 
Найти все целые числа $n$, делящиеся на все целые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$.
Решение:
Предположим, что число n делится на все числа $m$, меньшие или равные $\sqrt{n}$. Составим общее наименьшее кратное $К$ всех таких чисел $m$. В него, очевидно, будут входить все простые числа, меньшие $\sqrt{n}$, причем каждое простое число $р$ в такой степени $к$, что $p_k \leq \sqrt{n}$, но $p^{k+1} > \sqrt{n}$. Предположим, что число простых чисел, меньших $\sqrt{n}$, равно $l$; эти простые числа мы обозначим через $p_1, p_2, \cdots, p_l$. Наименьшее общее кратное $К$ всех чисел, меньших $\sqrt{n}$, представляет собой произведение $p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_l^{k_l}$, где $k_1$ таково, что $p_1^{k_1} \leq \sqrt{n} < p_1^{k_1 + 1}, k_2$ таково, что $p_2^{k_2} \leq \sqrt n < p_2^{k_2+1}$ и т. д. Перемножив теперь $l$ неравенств
$\sqrt{n} < p_1^{k_1+1}, \sqrt{n} < p_2^{k_2+1}, \cdots, \sqrt{n} < p_l^{k_l + 1}$,
получим:
$(\sqrt{n})^l < p_1^{k_1+1}p_2^{k_2+1} \cdots p_l^{k_l+1}$.
Ho $p_1^{k_1+1}p_2^{k_2+1} \cdots p_l^{k_l+1} = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_l^{k_l} \cdot p_1p_2 \cdots p_l \leq K^2$, ибо $p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_l^{k_l} = K$, а следовательно, $p_1p_2 \cdots p_l \leq K$. Таким образом, имеем:
$(\sqrt{n})^l < K^2$.
Но так как согласно нашему предположению $n$ должно делиться на $К$, то $K \leq n$ следовательно, $(\sqrt{n})^l < n^2$. Отсюда $l < 4$; так как $p_1, \cdots, p_l$ - все простые числа, меньшие $\sqrt{n}$, то $p_4 = 7 > \sqrt{n}$ (четвертое простое число есть 7) и $n < 49$.
Перебирая все числа, меньшие 49, мы без труда убеждаемся, что из них требуемым свойством обладают только числа 24, 12, 8, 6, 4 и 2.
Ответ: 24, 12, 8, 6, 4 и 2.
Найти все целые числа $n$, делящиеся на все целые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$.
Решение:
Предположим, что число n делится на все числа $m$, меньшие или равные $\sqrt{n}$. Составим общее наименьшее кратное $К$ всех таких чисел $m$. В него, очевидно, будут входить все простые числа, меньшие $\sqrt{n}$, причем каждое простое число $р$ в такой степени $к$, что $p_k \leq \sqrt{n}$, но $p^{k+1} > \sqrt{n}$. Предположим, что число простых чисел, меньших $\sqrt{n}$, равно $l$; эти простые числа мы обозначим через $p_1, p_2, \cdots, p_l$. Наименьшее общее кратное $К$ всех чисел, меньших $\sqrt{n}$, представляет собой произведение $p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_l^{k_l}$, где $k_1$ таково, что $p_1^{k_1} \leq \sqrt{n} < p_1^{k_1 + 1}, k_2$ таково, что $p_2^{k_2} \leq \sqrt n < p_2^{k_2+1}$ и т. д. Перемножив теперь $l$ неравенств
$\sqrt{n} < p_1^{k_1+1}, \sqrt{n} < p_2^{k_2+1}, \cdots, \sqrt{n} < p_l^{k_l + 1}$,
получим:
$(\sqrt{n})^l < p_1^{k_1+1}p_2^{k_2+1} \cdots p_l^{k_l+1}$.
Ho $p_1^{k_1+1}p_2^{k_2+1} \cdots p_l^{k_l+1} = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_l^{k_l} \cdot p_1p_2 \cdots p_l \leq K^2$, ибо $p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_l^{k_l} = K$, а следовательно, $p_1p_2 \cdots p_l \leq K$. Таким образом, имеем:
$(\sqrt{n})^l < K^2$.
Но так как согласно нашему предположению $n$ должно делиться на $К$, то $K \leq n$ следовательно, $(\sqrt{n})^l < n^2$. Отсюда $l < 4$; так как $p_1, \cdots, p_l$ - все простые числа, меньшие $\sqrt{n}$, то $p_4 = 7 > \sqrt{n}$ (четвертое простое число есть 7) и $n < 49$.
Перебирая все числа, меньшие 49, мы без труда убеждаемся, что из них требуемым свойством обладают только числа 24, 12, 8, 6, 4 и 2.
Ответ: 24, 12, 8, 6, 4 и 2.
