Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2789
2019-05-06 
а) Найти все числа $n$ между 1 и 100, такие, что $(n-1)!$ не делится на $n$.
б) Найти все числа $n$ между 1 и 100, такие, что $(n-1)!$ не делится на $n^2$.
Решение:
а) Число $(n-1)!$ не делится на $n$ только в том случае, если $n$ - простое число или если $n = 4$. Действительно, если $n$ - составное число, которое можно представить в виде произведения двух неравных множителей $а$ и $b$, то и $а$ и $b$ меньше $n - 1$ и, следовательно, входят в состав $(n- 1)!$; значит, $(n-1)!$ делится на $ab = n$. Если $n$ есть квадрат простого числа $p$, большего двух, то $n-1 = p^2 - 1 > 2p$. Поэтому и $p$ и $2p$ входят в состав $(n-1)!$; значит, $(n- 1)!$ делится на $p \cdot 2p = 2p^2 = 2n$. Итак, условию задачи удовлетворяют только числа 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, т. е. число 4 и все простые числа меньшие 100.
б) $(n-1)!$ не делится на $n^2$ только в следующих случаях: $n$ есть простое число, $n$ есть удвоенное простое число, $n = 8, n = 9$. Действительно, если $n$ не является ни простым числом, ни удвоенным простым числом, ни квадратом простого числа и не равно ни 8, ни 16, то $n$ можно представить в виде $n = ab$, где $а$ и $b$ - различные числа, не меньшие 3. Мы будем считать, что $b > а, a \geq 3$. В таком случае числа $а, b, 2a, 2b, 3a$ все меньше $n - 1$ и при этом $а, b$ и $2b$ заведомо различны, а из чисел $2a$ и $3a$ хотя бы одно отлично от чисел $а, b$ и $2b$. Таким образом, в $(n- 1)!$ входят множители $а, b, 2b, 2a$ или $а, b, 2b, 3a$ (а может быть, входят и все множители $а, b, 2b, 2a, 3a$); во всех случаях $(n - 1)!$ делится на $a^2b^2 = n^2$.
Далее, если $n = p^2$, где $p$ есть простое число большее 4, то $n - 1 > 4p$ и $(n -1)!$ содержит множители $p, 2p, 3p, 4p$ и следовательно, делится на $p^4 = n^2$. Если $n = 2p$, то $(n- 1)!$ не делится на $p^2$, а, следовательно, и на $n^2$; когда $n = 8$ или 9, то $(n-1)!$ не делится на $n^2$ (7! не делится на $8^2$ и $8!$ не делится на $9^2$); когда $n = 16$, то $(n-1)!$ делится на $n^2$ (15! содержит множители $2, 4 = 2^2, 6 = 3 \cdot 2, 8 = 2^3, 10 = 2 \cdot 5, 12 = 2^2 \cdot 3, 14 = 2 \cdot 7$ и, следовательно, делится на $2^{1+2+1+3+1+2+1} = 2^{11} = 16^2 \cdot 2^3$).
Таким образом, условию задачи б) удовлетворяют все числа, удовлетворяющие условию задачи а), и, кроме того, числа 6, 8, 9, 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 58, 62, 74, 82, 86, 94, т. е. все простые числа, все удвоенные простые числа и числа 8 и 9.
а) Найти все числа $n$ между 1 и 100, такие, что $(n-1)!$ не делится на $n$.
б) Найти все числа $n$ между 1 и 100, такие, что $(n-1)!$ не делится на $n^2$.
Решение:
а) Число $(n-1)!$ не делится на $n$ только в том случае, если $n$ - простое число или если $n = 4$. Действительно, если $n$ - составное число, которое можно представить в виде произведения двух неравных множителей $а$ и $b$, то и $а$ и $b$ меньше $n - 1$ и, следовательно, входят в состав $(n- 1)!$; значит, $(n-1)!$ делится на $ab = n$. Если $n$ есть квадрат простого числа $p$, большего двух, то $n-1 = p^2 - 1 > 2p$. Поэтому и $p$ и $2p$ входят в состав $(n-1)!$; значит, $(n- 1)!$ делится на $p \cdot 2p = 2p^2 = 2n$. Итак, условию задачи удовлетворяют только числа 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, т. е. число 4 и все простые числа меньшие 100.
б) $(n-1)!$ не делится на $n^2$ только в следующих случаях: $n$ есть простое число, $n$ есть удвоенное простое число, $n = 8, n = 9$. Действительно, если $n$ не является ни простым числом, ни удвоенным простым числом, ни квадратом простого числа и не равно ни 8, ни 16, то $n$ можно представить в виде $n = ab$, где $а$ и $b$ - различные числа, не меньшие 3. Мы будем считать, что $b > а, a \geq 3$. В таком случае числа $а, b, 2a, 2b, 3a$ все меньше $n - 1$ и при этом $а, b$ и $2b$ заведомо различны, а из чисел $2a$ и $3a$ хотя бы одно отлично от чисел $а, b$ и $2b$. Таким образом, в $(n- 1)!$ входят множители $а, b, 2b, 2a$ или $а, b, 2b, 3a$ (а может быть, входят и все множители $а, b, 2b, 2a, 3a$); во всех случаях $(n - 1)!$ делится на $a^2b^2 = n^2$.
Далее, если $n = p^2$, где $p$ есть простое число большее 4, то $n - 1 > 4p$ и $(n -1)!$ содержит множители $p, 2p, 3p, 4p$ и следовательно, делится на $p^4 = n^2$. Если $n = 2p$, то $(n- 1)!$ не делится на $p^2$, а, следовательно, и на $n^2$; когда $n = 8$ или 9, то $(n-1)!$ не делится на $n^2$ (7! не делится на $8^2$ и $8!$ не делится на $9^2$); когда $n = 16$, то $(n-1)!$ делится на $n^2$ (15! содержит множители $2, 4 = 2^2, 6 = 3 \cdot 2, 8 = 2^3, 10 = 2 \cdot 5, 12 = 2^2 \cdot 3, 14 = 2 \cdot 7$ и, следовательно, делится на $2^{1+2+1+3+1+2+1} = 2^{11} = 16^2 \cdot 2^3$).
Таким образом, условию задачи б) удовлетворяют все числа, удовлетворяющие условию задачи а), и, кроме того, числа 6, 8, 9, 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 58, 62, 74, 82, 86, 94, т. е. все простые числа, все удвоенные простые числа и числа 8 и 9.
