Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2788
2019-05-06 
Делится ли на 7 число сочетаний из 1000 элементов по 500?
Решение:
Число сочетаний из 1000 элементов по 500 равно $\frac {1000!}{(500!)^2}$. Так как 7 - простое число, то наивысшая степень, с которой 7 войдет в $1000!$ (см. второе решение задачи 756), равна $\left [ \frac{1000}{7} \right ] + \left [ \frac{1000}{49} \right ] + \left [ \frac{1000}{343} \right ] = 142 + 20 + 2 = 164$. Наивысшая степень, с которой 7 войдет в $500!$, равна $\left [ \frac{500}{7} \right ] + \left [ \frac{500}{49} \right ] + \left [ \frac{500}{343} \right ] = 71 + 10 = 1 = 82$. Следовательно, наивысшая степень, с которой 7 войдет в знаменатель, равна $82 \cdot 2 = 164$. Таким образом, и числитель и знаменатель содержат 7 в 164-й степени. После сокращения числитель не будет уже содержать множителем 7, и следовательно, целое число $\frac{1000!}{(500!)^2}$ не делится на 7.
Ответ: Не делится.
Делится ли на 7 число сочетаний из 1000 элементов по 500?
Решение:
Число сочетаний из 1000 элементов по 500 равно $\frac {1000!}{(500!)^2}$. Так как 7 - простое число, то наивысшая степень, с которой 7 войдет в $1000!$ (см. второе решение задачи 756), равна $\left [ \frac{1000}{7} \right ] + \left [ \frac{1000}{49} \right ] + \left [ \frac{1000}{343} \right ] = 142 + 20 + 2 = 164$. Наивысшая степень, с которой 7 войдет в $500!$, равна $\left [ \frac{500}{7} \right ] + \left [ \frac{500}{49} \right ] + \left [ \frac{500}{343} \right ] = 71 + 10 = 1 = 82$. Следовательно, наивысшая степень, с которой 7 войдет в знаменатель, равна $82 \cdot 2 = 164$. Таким образом, и числитель и знаменатель содержат 7 в 164-й степени. После сокращения числитель не будет уже содержать множителем 7, и следовательно, целое число $\frac{1000!}{(500!)^2}$ не делится на 7.
Ответ: Не делится.
