Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2785
2019-05-06 
Натуральное число $M$ делится на 7; доказать, что если число цифр числа делится на 6, то при переносе последней цифры в начало мы получим число $N$, также делящееся на 7.
Решение:
Обозначим исходное число $M = 10A + a$, где $а$ - последняя цифра $М$; тогда, полученное из $M$ указанным способом число $N$ будет, очевидно, равно $a \cdot 10^{6n -1} + A$, где $6n$ - число цифр числа $M$. Образуем теперь выражение
$M - 3N = (10A + a) - (3 \cdot 10^{6n-1}a + 3A) = 7A - (3 \cdot 10^{6n-1} - 1)a$.
Уменьшаемое $M$ в левой части делится на 7 по условию; число $7A$, очевидно, делится на 7; если мы докажем, что на 7 делится и число $3 \cdot 10^{6n-1} - 1$ (а значит, и выражение $3 \cdot 10^{6n - 1} - 1)a$, то на 7 должно будет делиться и число $3N$, а значит и число $N$.
Число 10 дает при делении на 7 остаток 3, число $10^2$ - тот же остаток, что и число $3 \cdot 3 = 9$, т. е. остаток 2, а значит, число $10^3 = 10^2 \cdot 10$ - остаток $2 \cdot 3 = 6$; число $10^6 = 10^3 \cdot 10^3$ дает при делении на 7 тот же остаток, что и $6 \cdot 6 = 36$, т. е. остаток 1, и, значит, это число имеет вид $7k + 1$; число $10^5 = 10^3 \cdot 10^2$ дает при делении на 7 тот же остаток, что и $6 \cdot 2 = 12$, т. е. остаток 5, другими словами, оно имеет вид $7l + 5$; поэтому
$10^{6n-1} = 10^{6n-1} \cdot 10^5 = 10^6)^{n-1} \cdot 10^5 = \underbrace {(7k+1)(7k+1) \cdots (7k+1)}_{n - 1 \:раз} (7l+5) = 7K + 5$,
т. е. это число дает при делении на 7 остаток 5. Наконец, число $3 \cdot 10^{6n-1}$ при делении на 7 дает тот же остаток, что и $3 \cdot 5 = 15$, т. е. остаток 1, а значит, число $3 \cdot 10^{6n-1} - 1$ делится на 7.
Это и доказывает утверждение задачи.
Натуральное число $M$ делится на 7; доказать, что если число цифр числа делится на 6, то при переносе последней цифры в начало мы получим число $N$, также делящееся на 7.
Решение:
Обозначим исходное число $M = 10A + a$, где $а$ - последняя цифра $М$; тогда, полученное из $M$ указанным способом число $N$ будет, очевидно, равно $a \cdot 10^{6n -1} + A$, где $6n$ - число цифр числа $M$. Образуем теперь выражение
$M - 3N = (10A + a) - (3 \cdot 10^{6n-1}a + 3A) = 7A - (3 \cdot 10^{6n-1} - 1)a$.
Уменьшаемое $M$ в левой части делится на 7 по условию; число $7A$, очевидно, делится на 7; если мы докажем, что на 7 делится и число $3 \cdot 10^{6n-1} - 1$ (а значит, и выражение $3 \cdot 10^{6n - 1} - 1)a$, то на 7 должно будет делиться и число $3N$, а значит и число $N$.
Число 10 дает при делении на 7 остаток 3, число $10^2$ - тот же остаток, что и число $3 \cdot 3 = 9$, т. е. остаток 2, а значит, число $10^3 = 10^2 \cdot 10$ - остаток $2 \cdot 3 = 6$; число $10^6 = 10^3 \cdot 10^3$ дает при делении на 7 тот же остаток, что и $6 \cdot 6 = 36$, т. е. остаток 1, и, значит, это число имеет вид $7k + 1$; число $10^5 = 10^3 \cdot 10^2$ дает при делении на 7 тот же остаток, что и $6 \cdot 2 = 12$, т. е. остаток 5, другими словами, оно имеет вид $7l + 5$; поэтому
$10^{6n-1} = 10^{6n-1} \cdot 10^5 = 10^6)^{n-1} \cdot 10^5 = \underbrace {(7k+1)(7k+1) \cdots (7k+1)}_{n - 1 \:раз} (7l+5) = 7K + 5$,
т. е. это число дает при делении на 7 остаток 5. Наконец, число $3 \cdot 10^{6n-1}$ при делении на 7 дает тот же остаток, что и $3 \cdot 5 = 15$, т. е. остаток 1, а значит, число $3 \cdot 10^{6n-1} - 1$ делится на 7.
Это и доказывает утверждение задачи.
