Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2784
2019-05-03 
Найти последние 1000 цифр числа
$N = 1 + 50 + 50^2 + 50^3 + \cdots + 50^{999}$.
Решение:
Согласно формуле для суммы членов геометрической прогрессии
$N = \frac {50^{1000} - 1}{50 - 1} = \frac {50^{1000} - 1}{49}$.
Но $\frac{1}{49}$ обращается в чистую периодическую десятичную дробь, период которой, состоящий из 42 знаков, нетрудно найти простым делением:
$\frac{1}{49} = 0,(020408163265306122448979591836734693877551)$,
или сокращенно
$\frac{1}{49} = 0, (P)$,
где $P$ изображает выписанную выше последовательность из 42 цифр.
Ближайшее к показателю степени 1000 целое кратное числа 42 есть $1008 = 24 \cdot 42$. Следовательно,
$\frac {10^{1008}}{49} = 10^{1008} \cdot \frac{1}{49} = \underbrace{PP \cdots P}_{24 \:раза}, P \cdots$.
Таким образом, дробь
$M = \frac {10^{1008} - 1}{49} = 10^{1008} \cdot \frac{1}{49} - \frac{1}{49} = \underbrace{PP \cdots P}_{24 \:раза}$
есть целое число, состоящее из 1008 цифр, которые можно разбить на 24 группы из повторяющихся 42 цифр (фактически число $M$ содержит не 1008 цифр, а 1007, так как наше число $P$ начинается нулем).
Составим теперь разность между интересующим нас числом $N$ и числом $M$:
$N - M = \frac {5^{1000} \cdot 10^{1000} - 1}{49} - \frac {10^{1008} - 1}{49} = \frac {5^{1000} - 10^8}{49} \cdot 10^{1000}$.
Так как разность $N - M$ двух целых чисел - целое число и $10^{1000}$ взаимно просто с 49, то $5^{1000} - 10^8$ должно делиться на 49. Следовательно, число $x = \frac {5^{1000} - 10^8}{49}$ является целым и разность $N - M$ оканчивается на 1000 нулей. Таким образом, последние 1000 цифр числа $N$ - те же самые, что и последние 1000 цифр числа $M$, а именно:
$p \underbrace {PP \cdots P}_{23 \:раза}$,
где $p$ - группа из 34 цифр, являющихся последними 34 цифрами числа $P$.
Найти последние 1000 цифр числа
$N = 1 + 50 + 50^2 + 50^3 + \cdots + 50^{999}$.
Решение:
Согласно формуле для суммы членов геометрической прогрессии
$N = \frac {50^{1000} - 1}{50 - 1} = \frac {50^{1000} - 1}{49}$.
Но $\frac{1}{49}$ обращается в чистую периодическую десятичную дробь, период которой, состоящий из 42 знаков, нетрудно найти простым делением:
$\frac{1}{49} = 0,(020408163265306122448979591836734693877551)$,
или сокращенно
$\frac{1}{49} = 0, (P)$,
где $P$ изображает выписанную выше последовательность из 42 цифр.
Ближайшее к показателю степени 1000 целое кратное числа 42 есть $1008 = 24 \cdot 42$. Следовательно,
$\frac {10^{1008}}{49} = 10^{1008} \cdot \frac{1}{49} = \underbrace{PP \cdots P}_{24 \:раза}, P \cdots$.
Таким образом, дробь
$M = \frac {10^{1008} - 1}{49} = 10^{1008} \cdot \frac{1}{49} - \frac{1}{49} = \underbrace{PP \cdots P}_{24 \:раза}$
есть целое число, состоящее из 1008 цифр, которые можно разбить на 24 группы из повторяющихся 42 цифр (фактически число $M$ содержит не 1008 цифр, а 1007, так как наше число $P$ начинается нулем).
Составим теперь разность между интересующим нас числом $N$ и числом $M$:
$N - M = \frac {5^{1000} \cdot 10^{1000} - 1}{49} - \frac {10^{1008} - 1}{49} = \frac {5^{1000} - 10^8}{49} \cdot 10^{1000}$.
Так как разность $N - M$ двух целых чисел - целое число и $10^{1000}$ взаимно просто с 49, то $5^{1000} - 10^8$ должно делиться на 49. Следовательно, число $x = \frac {5^{1000} - 10^8}{49}$ является целым и разность $N - M$ оканчивается на 1000 нулей. Таким образом, последние 1000 цифр числа $N$ - те же самые, что и последние 1000 цифр числа $M$, а именно:
$p \underbrace {PP \cdots P}_{23 \:раза}$,
где $p$ - группа из 34 цифр, являющихся последними 34 цифрами числа $P$.
