Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2783
2019-05-03 
Каковы две последние цифры числа
$n^а + (n + 1)^a + (n + 2)^a + \cdots + (n + 99)^a$,
где $n$ - произвольное целое неотрицательное число и а) $a = 4$; б) $a = 8$?
Решение:
Ясно, что две последние цифры чисел $n, n^2, n^3, \cdots$, где $n$ - целое неотрицательное число, зависят лишь от двух последних цифр числа $n$ - это следует из правила умножения многозначных чисел «столбиком». С другой стороны, последние цифры 100 последовательных целых неотрицательных чисел обязательно пробегают ряд значений $00, 01, 02, \cdots, 99$ (хотя, вообще говоря, и не в этом порядке); поэтому наша задача сводится к нахождению двух последних цифр суммы (при $a = 4$ и $a = 8$)
$N_a = 0^a + 1^a + 2^a + \cdots + 99^a$.
а) Если $n = 10 x + y$ - двузначное число, то
$n^4 = (10x + y)^4 = 10^4x^4 + 4 \cdot 10^3x^3y + 6 \cdot 10^2x^2y^2 + 4 \cdot 10 xy^3 + y^4$,
причем на две последние цифры числа $n^4$ влияют лишь два последних слагаемых, ибо все остальные слагаемые оканчиваются двумя нулями. Следовательно, нам надо найти лишь две последние цифры сумм
$\sum_{x} \sum_{y} 4 \cdot 10 xy^3$ и $\sum_{x} \sum_{y} x^0y^4 (= 10 \sum_{y}y^4 $,
где $х$ и $у$ независимо друг от друга пробегают значения от 0 до 9 и положено $0^0 = 1$ (так что $\sum_{x} x^0 = 0^0 + 1^0 + \cdots + 9^0 = 10$).
Заметим теперь, что при фиксированном $y$
$\sum_{x} 4 \cdot 10 xy^3 = 4 \cdot 10 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) \cdot y^3 = 1800y^3$
оканчивается двумя нулями; поэтому и $\sum_{x} \sum_{y} 4 \cdot 10 xy^3$ оканчивается двумя нулями - и не вносит никакого вклада в две последние цифры числа $N_4$. Итак, нам осталось лишь найти две последние цифры числа
$10 \sum_{y} y^4 = 10 (0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 + 6^4 + 7^4 + 8^4 + 9^4) = 10S_4$,
или последнюю цифру суммы $S_4$.
Но эту задачу решить легко: в нижеследующей таблице последовательно выписаны последние цифры чисел $y$, $y^2$ и $y^4$:
Поэтому последняя цифра суммы $S_4$ совпадает с последней цифрой суммы
$0 + 1 + 6 + 1 + \cdots + 1 = 4 (1+6) + 5 = 33$,
а значит, две последние цифры суммы $N_4$ (а также и фигурирующего в условии задачи числа) - это 30.
б) В точности аналогично решению задачи а) находим, что и при $a = 8$ две последние цифры суммы $N_8$ (а значит, и интересующего нас числа) совпадают с двумя последними цифрами числа $10S_8$, где $S_8 = 0^8 + 1^8 + \cdots + 9^8$. Но из выписанной таблицы последних цифр чисел $y^4$, а также из равенства $y^{4k} = (y^4)^k$ следует, что число $y^{4k}$ (где $у$ - цифра) оканчивается той же цифрой, что и $y^4$. Поэтому и при $а = 8$ две последние цифры рассматриваемого числа будут теми же, что и при $а = 4$, т. е. это будут цифры 30.
Примечание. Нетрудно видеть, что тот же результат мы получим и при всех кратных 4 значениях $а$, т. е. при $а = 4, 8, 12, 16, \cdots$.
Ответ: При всех $а$, кратных 4, последние цифры рассматриваемого числа - это 30.
Каковы две последние цифры числа
$n^а + (n + 1)^a + (n + 2)^a + \cdots + (n + 99)^a$,
где $n$ - произвольное целое неотрицательное число и а) $a = 4$; б) $a = 8$?
Решение:
Ясно, что две последние цифры чисел $n, n^2, n^3, \cdots$, где $n$ - целое неотрицательное число, зависят лишь от двух последних цифр числа $n$ - это следует из правила умножения многозначных чисел «столбиком». С другой стороны, последние цифры 100 последовательных целых неотрицательных чисел обязательно пробегают ряд значений $00, 01, 02, \cdots, 99$ (хотя, вообще говоря, и не в этом порядке); поэтому наша задача сводится к нахождению двух последних цифр суммы (при $a = 4$ и $a = 8$)
$N_a = 0^a + 1^a + 2^a + \cdots + 99^a$.
а) Если $n = 10 x + y$ - двузначное число, то
$n^4 = (10x + y)^4 = 10^4x^4 + 4 \cdot 10^3x^3y + 6 \cdot 10^2x^2y^2 + 4 \cdot 10 xy^3 + y^4$,
причем на две последние цифры числа $n^4$ влияют лишь два последних слагаемых, ибо все остальные слагаемые оканчиваются двумя нулями. Следовательно, нам надо найти лишь две последние цифры сумм
$\sum_{x} \sum_{y} 4 \cdot 10 xy^3$ и $\sum_{x} \sum_{y} x^0y^4 (= 10 \sum_{y}y^4 $,
где $х$ и $у$ независимо друг от друга пробегают значения от 0 до 9 и положено $0^0 = 1$ (так что $\sum_{x} x^0 = 0^0 + 1^0 + \cdots + 9^0 = 10$).
Заметим теперь, что при фиксированном $y$
$\sum_{x} 4 \cdot 10 xy^3 = 4 \cdot 10 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) \cdot y^3 = 1800y^3$
оканчивается двумя нулями; поэтому и $\sum_{x} \sum_{y} 4 \cdot 10 xy^3$ оканчивается двумя нулями - и не вносит никакого вклада в две последние цифры числа $N_4$. Итак, нам осталось лишь найти две последние цифры числа
$10 \sum_{y} y^4 = 10 (0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 + 6^4 + 7^4 + 8^4 + 9^4) = 10S_4$,
или последнюю цифру суммы $S_4$.
Но эту задачу решить легко: в нижеследующей таблице последовательно выписаны последние цифры чисел $y$, $y^2$ и $y^4$:
Поэтому последняя цифра суммы $S_4$ совпадает с последней цифрой суммы
$0 + 1 + 6 + 1 + \cdots + 1 = 4 (1+6) + 5 = 33$,
а значит, две последние цифры суммы $N_4$ (а также и фигурирующего в условии задачи числа) - это 30.
б) В точности аналогично решению задачи а) находим, что и при $a = 8$ две последние цифры суммы $N_8$ (а значит, и интересующего нас числа) совпадают с двумя последними цифрами числа $10S_8$, где $S_8 = 0^8 + 1^8 + \cdots + 9^8$. Но из выписанной таблицы последних цифр чисел $y^4$, а также из равенства $y^{4k} = (y^4)^k$ следует, что число $y^{4k}$ (где $у$ - цифра) оканчивается той же цифрой, что и $y^4$. Поэтому и при $а = 8$ две последние цифры рассматриваемого числа будут теми же, что и при $а = 4$, т. е. это будут цифры 30.
Примечание. Нетрудно видеть, что тот же результат мы получим и при всех кратных 4 значениях $а$, т. е. при $а = 4, 8, 12, 16, \cdots$.
Ответ: При всех $а$, кратных 4, последние цифры рассматриваемого числа - это 30.
