Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2782
2019-05-03 
При каких натуральных $n$ сумма $5^n + n^5$ делится на 13? Каково наименьшее $n$, удовлетворяющее этому условию?
Решение:
Найдем, прежде всего, остатки от деления на 13 чисел $5^n$ и $n^5$ для ряда первых значений $n = 0, 1, 2, \cdots$. При этом удобнее начать с чисел $5^n$:
[Здесь мы пишем «остаток - 1» вместо «остаток 12» и «остаток -3» вместо «остаток 8», что позволяет очень просто находить все следующие остатки: если $5^n$ дает при делении на 13 остаток - 1, т. е. $5^n = 13k - 1$, где $k$ - целое, то $5^{n+1} = 5^n \cdot 5 = (13k - 1) 5 = 13 (5k) - 5$ дает при делении на 13 остаток - 5; аналогично, если $5^m$ дает при делении на 13 остаток - 5, т. е. $5^m = 13l - 5$ то $5^{m+1} = 5^m \cdot 5 = (13l - 5) 5 = 13 (5l) - 25 = 13 (5l - 2) + 1$ дает при делении на 13 остаток 1.] Продолжать таблицу далее нам нет нужды: поскольку $5^4 = 13q + 1$, то $5^5 = 5^4 \cdot 5 = (13q + 1) \cdot 5$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и число 5 (остаток 5); число $5^6 = 5^4 \cdot 5^2 = (13q + 1) 5^2$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и число $5^2$ (остаток - 1), и т. д.; таким образом, в нашем «ряду остатков» последовательно чередуются числа 1, 5, -1, -5.
Аналогично можно составить и таблицу остатков от деления на 13 чисел $n^5$, где $n = 0, 1, 2, \cdots$, и т. д. Но число $(13p + r)^5 = \underbrace {(13p + r)(13p + r) \cdots (13p + r)}_{5 \:множителей}$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и число $r^5$; поэтому нам достаточно ограничиться значениями $n = 0, 1, 2, 3, \cdots, 12$. Далее, если число $n$ равно (или дает при делении на 13 остаток) $s$, а число $n^2$ дает при делении на 13 остаток $t$, то число $n^5 = n^2 \cdot n^2 \cdot n$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и произведение $t \cdot t \cdot s$ это обстоятельство может облегчить составление требуемой таблицы для значений $n = 4, 5, 6$. Наконец, заметим еще, что если число $n^5$ дает при делении на 13 остаток $u$, то число $(13-n)^5 = \underbrace {(13 - n)(13 - n) \cdots (13 - n)}_{5 \:множителей}$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и число $(-n)^5$, т. е. остаток - $u$, или $13 - u$.
Теперь мы можем составить нашу таблицу:
![]()
(отвечающие значениям $n = 7, 8, \cdots 12$ остатки выписываются исходя из того, что числа $n^5$ и $(13 - n)^5$ дают при делении на 13 «дополнительные» остатки $u$ и $- u$). После же значения $n = 12$ в нашей таблице будут «периодически» повторяться те же остатки 0, 1, 6, -4, -3, 5, 2, -2, -5, 3, 4, –6,–1.
Так как первая таблица имеет «период» 4, а вторая - «период» 13, то значение $4 \cdot 13 = 52$ является «периодом» объединения обеих таблиц: при увеличении $n$ на число 52 (или па любое число, кратное 52) остатки от деления на 13 обоих числа $5^n$ и $n^5$ не меняются. Далее, нас могут интересовать лишь те столбцы второй таблицы, которые отвечают остаткам ± 1 и ± 5 (ибо в первой таблице чередуются лишь остатки 1, 5, - 1, - 5). Но в пределах от $n = 0$ до $n = 51$ остаток 1 во второй таблице отвечает значениям $n =1, 1 + 13 = 14, 1 + 2 \cdot 13 = 27$ и $1 + 3 \cdot 13 = 40$; из этих четырех чисел лишь 14 имеет вид $4x = 2$, которому в первой таблице соответствует остаток -1; таким образом, число $n = 14$ удовлетворяет требуемому условию ($5^{14} + 14^5$ делится на 13). Аналогично, остаток - 1 во второй таблице в тех же пределах отвечает значениям $n = 12, 12 + 13 = 25, 12 + 2 \cdot 13 = 38$ и $12 + 3 \cdot 13 = 51$; из этих чисел лишь 12 имеет вид $4y$, который в первой таблице приводит к остатку 1. Точно так же остаток 5 во второй таблице отвечает значениям $n = 5, 5+13 = 18, 5 = 2 \cdot 13 = 31$ и $5 + 3 \cdot 13 = 44$, а остаток - 5 - значениям $n = 8, 8 + 13 = 21, 8 + 2 \cdot 13 = 34$ и $8 + 3 \cdot 13 = 47$; но из первых четырех чисел лишь 31 имеет вид $4z + 3$, обеспечивающий остаток - 5 от деления $5^31$ на 13, а из последних четырех чисел только 21 имеет вид $4w + 1$, обеспечивающий остаток 5 от деления $5^21$ на 13. Таким образом, в пределах $0 \leq n \leq 52$ требуемому условию удовлетворяют следующие четыре натуральных числа: $n = 12, 14, 21$ и 31; все же множество удовлетворяющих условию задачи натуральных чисел состоит из следующих четырех «серий» чисел:
$n = 52m + 12, n = 52m + 14$ (т.е. $n = 26 (2m) + 12$ и $n = 26 (2m + 1) - 12$;
$n = 52m + 21$ и $n = 52m = 31$ (т.е. $n = 52m \pm 21$);
здесь $m = 0,1,2, \cdots$ (и лишь в формуле $n = 52m - 21$ надо считать $m > 0$).
Ясно, что наименьшее $n$, удовлетворяющее условиям задачи - это $n = 12$.
При каких натуральных $n$ сумма $5^n + n^5$ делится на 13? Каково наименьшее $n$, удовлетворяющее этому условию?
Решение:
Найдем, прежде всего, остатки от деления на 13 чисел $5^n$ и $n^5$ для ряда первых значений $n = 0, 1, 2, \cdots$. При этом удобнее начать с чисел $5^n$:
[Здесь мы пишем «остаток - 1» вместо «остаток 12» и «остаток -3» вместо «остаток 8», что позволяет очень просто находить все следующие остатки: если $5^n$ дает при делении на 13 остаток - 1, т. е. $5^n = 13k - 1$, где $k$ - целое, то $5^{n+1} = 5^n \cdot 5 = (13k - 1) 5 = 13 (5k) - 5$ дает при делении на 13 остаток - 5; аналогично, если $5^m$ дает при делении на 13 остаток - 5, т. е. $5^m = 13l - 5$ то $5^{m+1} = 5^m \cdot 5 = (13l - 5) 5 = 13 (5l) - 25 = 13 (5l - 2) + 1$ дает при делении на 13 остаток 1.] Продолжать таблицу далее нам нет нужды: поскольку $5^4 = 13q + 1$, то $5^5 = 5^4 \cdot 5 = (13q + 1) \cdot 5$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и число 5 (остаток 5); число $5^6 = 5^4 \cdot 5^2 = (13q + 1) 5^2$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и число $5^2$ (остаток - 1), и т. д.; таким образом, в нашем «ряду остатков» последовательно чередуются числа 1, 5, -1, -5.
Аналогично можно составить и таблицу остатков от деления на 13 чисел $n^5$, где $n = 0, 1, 2, \cdots$, и т. д. Но число $(13p + r)^5 = \underbrace {(13p + r)(13p + r) \cdots (13p + r)}_{5 \:множителей}$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и число $r^5$; поэтому нам достаточно ограничиться значениями $n = 0, 1, 2, 3, \cdots, 12$. Далее, если число $n$ равно (или дает при делении на 13 остаток) $s$, а число $n^2$ дает при делении на 13 остаток $t$, то число $n^5 = n^2 \cdot n^2 \cdot n$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и произведение $t \cdot t \cdot s$ это обстоятельство может облегчить составление требуемой таблицы для значений $n = 4, 5, 6$. Наконец, заметим еще, что если число $n^5$ дает при делении на 13 остаток $u$, то число $(13-n)^5 = \underbrace {(13 - n)(13 - n) \cdots (13 - n)}_{5 \:множителей}$ дает при делении на 13 тот же остаток, что и число $(-n)^5$, т. е. остаток - $u$, или $13 - u$.
Теперь мы можем составить нашу таблицу:
Так как первая таблица имеет «период» 4, а вторая - «период» 13, то значение $4 \cdot 13 = 52$ является «периодом» объединения обеих таблиц: при увеличении $n$ на число 52 (или па любое число, кратное 52) остатки от деления на 13 обоих числа $5^n$ и $n^5$ не меняются. Далее, нас могут интересовать лишь те столбцы второй таблицы, которые отвечают остаткам ± 1 и ± 5 (ибо в первой таблице чередуются лишь остатки 1, 5, - 1, - 5). Но в пределах от $n = 0$ до $n = 51$ остаток 1 во второй таблице отвечает значениям $n =1, 1 + 13 = 14, 1 + 2 \cdot 13 = 27$ и $1 + 3 \cdot 13 = 40$; из этих четырех чисел лишь 14 имеет вид $4x = 2$, которому в первой таблице соответствует остаток -1; таким образом, число $n = 14$ удовлетворяет требуемому условию ($5^{14} + 14^5$ делится на 13). Аналогично, остаток - 1 во второй таблице в тех же пределах отвечает значениям $n = 12, 12 + 13 = 25, 12 + 2 \cdot 13 = 38$ и $12 + 3 \cdot 13 = 51$; из этих чисел лишь 12 имеет вид $4y$, который в первой таблице приводит к остатку 1. Точно так же остаток 5 во второй таблице отвечает значениям $n = 5, 5+13 = 18, 5 = 2 \cdot 13 = 31$ и $5 + 3 \cdot 13 = 44$, а остаток - 5 - значениям $n = 8, 8 + 13 = 21, 8 + 2 \cdot 13 = 34$ и $8 + 3 \cdot 13 = 47$; но из первых четырех чисел лишь 31 имеет вид $4z + 3$, обеспечивающий остаток - 5 от деления $5^31$ на 13, а из последних четырех чисел только 21 имеет вид $4w + 1$, обеспечивающий остаток 5 от деления $5^21$ на 13. Таким образом, в пределах $0 \leq n \leq 52$ требуемому условию удовлетворяют следующие четыре натуральных числа: $n = 12, 14, 21$ и 31; все же множество удовлетворяющих условию задачи натуральных чисел состоит из следующих четырех «серий» чисел:
$n = 52m + 12, n = 52m + 14$ (т.е. $n = 26 (2m) + 12$ и $n = 26 (2m + 1) - 12$;
$n = 52m + 21$ и $n = 52m = 31$ (т.е. $n = 52m \pm 21$);
здесь $m = 0,1,2, \cdots$ (и лишь в формуле $n = 52m - 21$ надо считать $m > 0$).
Ясно, что наименьшее $n$, удовлетворяющее условиям задачи - это $n = 12$.
