Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2781
2019-05-03 
Определить пять последних цифр числа
$N = 9^{ \left ( 9^{\cdots \left (9^{(9^9)} \right )} \cdots \right )}$,
записанного с помощью 1001 девятки аналогично числу задачи 686).
Решение:
Рассмотрим последовательно числа:
1. $Z_1 = 9$,
2. $Z_2 = 9^{Z_1} = (10 - 1)^{Z_1} = 10^{Z_1} - C_{Z_1}^1 \cdot 10^{Z_1 - 1} + \cdots + C_{Z_1}^1 \cdot 10 - 1$,
где опущенные члены разложения все делятся на 100. Но $C_{Z_1}^1 = 9$; следовательно, две последние цифры числа $Z_2$ будут теми же самыми, что и две последние цифры числа $9 \cdot 10 - 1 = 89$.
3. $Z_3 = 9^{Z_2} = (10 - 1)^{Z_3} = 10^{Z_2} - C_{Z_2}^1 \cdot 10^{Z_3 - 1} + \cdots - C_{Z_3}^2 \cdot 10^2 + C_{Z_2}^1 \cdot 10 - 1$.
Но $Z_2$ оканчивается на 89; следовательно, $C_{Z_2}^1 = Z_2$ оканчивается на 89, a $C_{Z_2}^2 = \frac {Z_2 (Z_2 - 1)}{1 \cdot 2} = \frac {\cdots 89 \cdots 88}{1 \cdot 2}$ (точками обозначены неизвестные цифры) оканчивается цифрой 6. Следовательно, три последние цифры числа $Z_3$ будут теми же самыми что и три последние цифры числа – $600 + 890 - 1 = 289$
4. $Z_4 = 9^{Z_3} = (10 - 1)^{Z_3} = 10^{Z_3} - C_{Z_3}^1 \cdot 10^{Z_3 - 1} + \cdots + C_{Z_3}^3 \cdot 10^3 - C_{Z_3}^2 \cdot 10^2 + C_{Z_3}^1 \cdot 10 - 1$.
Так как $Z_3$ оканчивается на 289, то и $C_{Z_3}^1 = Z_3$ оканчивается на 289;
$C_{Z_3}^2 = \frac {Z_3 (Z_3 - 1)}{1 \cdot 2} = \frac {\cdots 289 \cdots 288}{1 \cdot 2}$
оканчивается на 16;
$C_{Z_3}^3 = \frac {Z_3 (Z_3 - 1)(Z_3 - 2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac {\cdots 289 \cdots 288 \cdots 287}{1 \cdot 2 \cdot 3}$
оканчивается цифрой 4. Следовательно, четыре последние цифры числа $Z_4$ будут теми же самыми, что и последние четыре цифры числа $4000 - 1600 + 2890 - 1 = 5289$.
5. $5 = 9^{Z_4} = (10 - 1)^{Z_4} = 10^{Z_4} - C_{Z_4}^1 \cdot 10^{Z_4 - 1} + \cdots + C_{Z_4}^4 \cdot 10^4 - C_{Z_4}^3 \cdot 10^3 + C_{Z_4}^2 \cdot 10^2 + C_{Z_1}^1 \cdot 10 - 1$.
Так как $Z_4$ оканчивается на 5289, то и $C_{Z_1}^1 = Z_4$ оканчивается на 5289;
$C_{Z_4}^2 = \frac {Z_4 (Z_4 - 1)}{1 \cdot 2} = \frac {\cdots 5289 \cdots 5288}{1 \cdot 2}$
оканчивается на 16;
$C_{Z_4}^3 = \frac {Z_4 (Z_4 - 1)(Z_4 - 2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac {\cdots 5289 \cdots 5288 \cdots 5287}{1 \cdot 2 \cdot 3}$
оканчивается цифрой 64; наконец,
$C_{Z_4}^4 = \frac {Z_4 (Z_4 - 1)(Z_4 - 2)(Z_4 - 3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac {\cdots 5289 \cdots 5288 \cdots 5287 \cdots 5286}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$
оканчивается цифрой 6. Следовательно, $Z_5$ оканчивается на те же самые пять цифр, что и число
$-60000 + 64000 - 11600 + 52890 - 1 = 45289$.
Далее из того, что последние четыре цифры числа $Z_5$ совпадают с последними четырьмя цифрами числа $Z_4$, следует, что последние пять цифр числа $Z_6 = 9^{Z_5} = (10 - 1)^{Z_5}$ совпадают с последними пятью цифрами числа $Z_5 (= 9^{Z_4})$. Точно так же показывается, что все числа ряда
$Z_5, Z_6 = 9^{Z_5}, Z_7 = 9^{Z_6}, \cdots, Z_{1000} = 9^{Z_{999}}, Z_{1001} = 9^{Z_{1000}}$
оканчиваются на одни и те же пять цифр, а именно на 45 289. Но $Z_{1001}$ это и есть число $N$ условия задачи.
Ответ: 45 289.
Определить пять последних цифр числа
$N = 9^{ \left ( 9^{\cdots \left (9^{(9^9)} \right )} \cdots \right )}$,
записанного с помощью 1001 девятки аналогично числу задачи 686).
Решение:
Рассмотрим последовательно числа:
1. $Z_1 = 9$,
2. $Z_2 = 9^{Z_1} = (10 - 1)^{Z_1} = 10^{Z_1} - C_{Z_1}^1 \cdot 10^{Z_1 - 1} + \cdots + C_{Z_1}^1 \cdot 10 - 1$,
где опущенные члены разложения все делятся на 100. Но $C_{Z_1}^1 = 9$; следовательно, две последние цифры числа $Z_2$ будут теми же самыми, что и две последние цифры числа $9 \cdot 10 - 1 = 89$.
3. $Z_3 = 9^{Z_2} = (10 - 1)^{Z_3} = 10^{Z_2} - C_{Z_2}^1 \cdot 10^{Z_3 - 1} + \cdots - C_{Z_3}^2 \cdot 10^2 + C_{Z_2}^1 \cdot 10 - 1$.
Но $Z_2$ оканчивается на 89; следовательно, $C_{Z_2}^1 = Z_2$ оканчивается на 89, a $C_{Z_2}^2 = \frac {Z_2 (Z_2 - 1)}{1 \cdot 2} = \frac {\cdots 89 \cdots 88}{1 \cdot 2}$ (точками обозначены неизвестные цифры) оканчивается цифрой 6. Следовательно, три последние цифры числа $Z_3$ будут теми же самыми что и три последние цифры числа – $600 + 890 - 1 = 289$
4. $Z_4 = 9^{Z_3} = (10 - 1)^{Z_3} = 10^{Z_3} - C_{Z_3}^1 \cdot 10^{Z_3 - 1} + \cdots + C_{Z_3}^3 \cdot 10^3 - C_{Z_3}^2 \cdot 10^2 + C_{Z_3}^1 \cdot 10 - 1$.
Так как $Z_3$ оканчивается на 289, то и $C_{Z_3}^1 = Z_3$ оканчивается на 289;
$C_{Z_3}^2 = \frac {Z_3 (Z_3 - 1)}{1 \cdot 2} = \frac {\cdots 289 \cdots 288}{1 \cdot 2}$
оканчивается на 16;
$C_{Z_3}^3 = \frac {Z_3 (Z_3 - 1)(Z_3 - 2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac {\cdots 289 \cdots 288 \cdots 287}{1 \cdot 2 \cdot 3}$
оканчивается цифрой 4. Следовательно, четыре последние цифры числа $Z_4$ будут теми же самыми, что и последние четыре цифры числа $4000 - 1600 + 2890 - 1 = 5289$.
5. $5 = 9^{Z_4} = (10 - 1)^{Z_4} = 10^{Z_4} - C_{Z_4}^1 \cdot 10^{Z_4 - 1} + \cdots + C_{Z_4}^4 \cdot 10^4 - C_{Z_4}^3 \cdot 10^3 + C_{Z_4}^2 \cdot 10^2 + C_{Z_1}^1 \cdot 10 - 1$.
Так как $Z_4$ оканчивается на 5289, то и $C_{Z_1}^1 = Z_4$ оканчивается на 5289;
$C_{Z_4}^2 = \frac {Z_4 (Z_4 - 1)}{1 \cdot 2} = \frac {\cdots 5289 \cdots 5288}{1 \cdot 2}$
оканчивается на 16;
$C_{Z_4}^3 = \frac {Z_4 (Z_4 - 1)(Z_4 - 2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac {\cdots 5289 \cdots 5288 \cdots 5287}{1 \cdot 2 \cdot 3}$
оканчивается цифрой 64; наконец,
$C_{Z_4}^4 = \frac {Z_4 (Z_4 - 1)(Z_4 - 2)(Z_4 - 3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac {\cdots 5289 \cdots 5288 \cdots 5287 \cdots 5286}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$
оканчивается цифрой 6. Следовательно, $Z_5$ оканчивается на те же самые пять цифр, что и число
$-60000 + 64000 - 11600 + 52890 - 1 = 45289$.
Далее из того, что последние четыре цифры числа $Z_5$ совпадают с последними четырьмя цифрами числа $Z_4$, следует, что последние пять цифр числа $Z_6 = 9^{Z_5} = (10 - 1)^{Z_5}$ совпадают с последними пятью цифрами числа $Z_5 (= 9^{Z_4})$. Точно так же показывается, что все числа ряда
$Z_5, Z_6 = 9^{Z_5}, Z_7 = 9^{Z_6}, \cdots, Z_{1000} = 9^{Z_{999}}, Z_{1001} = 9^{Z_{1000}}$
оканчиваются на одни и те же пять цифр, а именно на 45 289. Но $Z_{1001}$ это и есть число $N$ условия задачи.
Ответ: 45 289.
