Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2780
2019-05-03 
а) Какова последняя цифра числа
$\left ( \cdots \left ( \left ( \left (7^7 \right )^7 \right )^7 \right )^{\cdots 7} \right )$
(возведение в степень 7 повторяется 1000 раз)? Каковы две последние цифры этого числа?
б) Какова последняя цифра числа
$7^{ \left ( 7^{ \cdots (7^{(7^7)})} \cdots \right )}$
записанного с помощью 1001 семерки, аналогично числу задачи а), однако с иным порядком возведения в степень? Каковы две последние цифры этого числа?
Решение:
а) Если перемножить два числа, одно из которых оканчивается на цифру $a$, а второе на цифру $b$, то их произведение будет оканчиваться на ту же цифру, что и произведение $ab$. Это замечание позволяет просто решить поставленную задачу. Будем последовательно производить возвышения в степень, следя только за последней цифрой числа: $7^2$ оканчивается цифрой 9, $7^3 = 7^2 \cdot 7$ оканчивается цифрой 3, $7^4 = 7^3 \cdot 7$ оканчивается цифрой 1 и $7^7 = 7^4 \cdot 7^3$ оканчивается цифрой 3.
Далее, точно таким же образом найдем, что $(7^7)^7$ оканчивается снова цифрой 7 (действительно, $(7^7)^2$ оканчивается цифрой 9, $(7^7)^3$ оканчивается цифрой 7, $(7^7)^4$ оканчивается цифрой 1 и $(7^7)^7$ оканчивается цифрой 7). Отсюда следует, что число $((7^7)^7)^7$ оканчивается той же цифрой, что и число $7^7$, т. е. цифрой 3, число $(((7^7)^7)^7)^7$ оканчивается снова цифрой 7, и т. д. Продолжая таким же образом, мы после нечетного числа возведений в степень 7 будем каждый раз приходить к числу, оканчивающемуся цифрой 3, а после четного числа возведений в степень 7 - к числу, оканчивающемуся цифрой 7. Так как 1000 есть число четное, то интересующее нас число оканчивается цифрой 7.
Если одно число оканчивается двузначным числом $А$, а второе- двузначным числом $B$, то их произведение оканчивается на те же самые две цифры, что и произведение $А \cdot В$. Это позволяет найти и две последние цифры интересующего нас числа. Как прежде, проверяем, что $7^7$ оканчивается двумя цифрами 43, а $(7^7)^7$ оканчивается теми же цифрами, что и $43^7$, а именно цифрами 07. Отсюда следует, что, возводя последовательно числа $7, 7^7, (7^7)^7, \cdots$, в степень 7, мы после нечетного числа возведений в степень будем приходить к числу, оканчивающемуся цифрами 43, а после четного числа возведений - к числу, оканчивающемуся цифрами 07. Следовательно, искомое число оканчивается цифрами 07.
б) В решении задачи а) мы видели, что $7^4$ оканчивается цифрой 1. Отсюда следует, что $7^{4k} = (7^4)^k$ тоже оканчивается цифрой 1 и $7^{4k+l}$, где $l$ есть одно из чисел 0, 1, 2 или 3, оканчивается той же цифрой, что и $7^l (7^{4k + l} = 7^{4k} \cdot 7^l)$. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы определить, какой остаток дает при делении на 4 число, являющееся степенью, в которую надо возвести 7, чтобы получить число задачи.
Степень, в которую в задаче возводится число 7, сама представляет собой 7 в некоторой очень большой степени; нам надо выяснить, какой остаток дает эта степень семи при делении на 4. Но $7 = 8 - 1$; отсюда следует, что $7^2 = (8-1) \cdot (8-1)$ дает при делении на 4 остаток $1, 7^3 = 7^2 \cdot (8-1)$ дает при делении на 4 остаток - 1 (или, что то же самое, остаток 3) и вообще каждая четная степень 7 дает при делении на 4 остаток 1, а нечетная - остаток - 1 (т. е. +3). Но интересующая нас в настоящем случае степень 7 заведомо является числом нечетным (так как она сама есть степень 7), а следовательно, фигурирующее в условии задачи число имеет вид $7^{4k+3}$ и, следовательно, оканчивается той же цифрой, что и $7^3$, т. е. цифрой 3.
Так как $7^4$ оканчивается цифрами 01, то $7^{4k+l}$ оканчивается даже теми же двумя цифрами, что и $7^l$. Следовательно, интересующее нас число оканчивается теми же двумя цифрами, что и число $7^3$, т. е. цифрами 43.
Ответ: а) 7; 07. б) 3; 43.
а) Какова последняя цифра числа
$\left ( \cdots \left ( \left ( \left (7^7 \right )^7 \right )^7 \right )^{\cdots 7} \right )$
(возведение в степень 7 повторяется 1000 раз)? Каковы две последние цифры этого числа?
б) Какова последняя цифра числа
$7^{ \left ( 7^{ \cdots (7^{(7^7)})} \cdots \right )}$
записанного с помощью 1001 семерки, аналогично числу задачи а), однако с иным порядком возведения в степень? Каковы две последние цифры этого числа?
Решение:
а) Если перемножить два числа, одно из которых оканчивается на цифру $a$, а второе на цифру $b$, то их произведение будет оканчиваться на ту же цифру, что и произведение $ab$. Это замечание позволяет просто решить поставленную задачу. Будем последовательно производить возвышения в степень, следя только за последней цифрой числа: $7^2$ оканчивается цифрой 9, $7^3 = 7^2 \cdot 7$ оканчивается цифрой 3, $7^4 = 7^3 \cdot 7$ оканчивается цифрой 1 и $7^7 = 7^4 \cdot 7^3$ оканчивается цифрой 3.
Далее, точно таким же образом найдем, что $(7^7)^7$ оканчивается снова цифрой 7 (действительно, $(7^7)^2$ оканчивается цифрой 9, $(7^7)^3$ оканчивается цифрой 7, $(7^7)^4$ оканчивается цифрой 1 и $(7^7)^7$ оканчивается цифрой 7). Отсюда следует, что число $((7^7)^7)^7$ оканчивается той же цифрой, что и число $7^7$, т. е. цифрой 3, число $(((7^7)^7)^7)^7$ оканчивается снова цифрой 7, и т. д. Продолжая таким же образом, мы после нечетного числа возведений в степень 7 будем каждый раз приходить к числу, оканчивающемуся цифрой 3, а после четного числа возведений в степень 7 - к числу, оканчивающемуся цифрой 7. Так как 1000 есть число четное, то интересующее нас число оканчивается цифрой 7.
Если одно число оканчивается двузначным числом $А$, а второе- двузначным числом $B$, то их произведение оканчивается на те же самые две цифры, что и произведение $А \cdot В$. Это позволяет найти и две последние цифры интересующего нас числа. Как прежде, проверяем, что $7^7$ оканчивается двумя цифрами 43, а $(7^7)^7$ оканчивается теми же цифрами, что и $43^7$, а именно цифрами 07. Отсюда следует, что, возводя последовательно числа $7, 7^7, (7^7)^7, \cdots$, в степень 7, мы после нечетного числа возведений в степень будем приходить к числу, оканчивающемуся цифрами 43, а после четного числа возведений - к числу, оканчивающемуся цифрами 07. Следовательно, искомое число оканчивается цифрами 07.
б) В решении задачи а) мы видели, что $7^4$ оканчивается цифрой 1. Отсюда следует, что $7^{4k} = (7^4)^k$ тоже оканчивается цифрой 1 и $7^{4k+l}$, где $l$ есть одно из чисел 0, 1, 2 или 3, оканчивается той же цифрой, что и $7^l (7^{4k + l} = 7^{4k} \cdot 7^l)$. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы определить, какой остаток дает при делении на 4 число, являющееся степенью, в которую надо возвести 7, чтобы получить число задачи.
Степень, в которую в задаче возводится число 7, сама представляет собой 7 в некоторой очень большой степени; нам надо выяснить, какой остаток дает эта степень семи при делении на 4. Но $7 = 8 - 1$; отсюда следует, что $7^2 = (8-1) \cdot (8-1)$ дает при делении на 4 остаток $1, 7^3 = 7^2 \cdot (8-1)$ дает при делении на 4 остаток - 1 (или, что то же самое, остаток 3) и вообще каждая четная степень 7 дает при делении на 4 остаток 1, а нечетная - остаток - 1 (т. е. +3). Но интересующая нас в настоящем случае степень 7 заведомо является числом нечетным (так как она сама есть степень 7), а следовательно, фигурирующее в условии задачи число имеет вид $7^{4k+3}$ и, следовательно, оканчивается той же цифрой, что и $7^3$, т. е. цифрой 3.
Так как $7^4$ оканчивается цифрами 01, то $7^{4k+l}$ оканчивается даже теми же двумя цифрами, что и $7^l$. Следовательно, интересующее нас число оканчивается теми же двумя цифрами, что и число $7^3$, т. е. цифрами 43.
Ответ: а) 7; 07. б) 3; 43.
