ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ любого нетупоугольного треугольника справедливо неравенство
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$.


Решение:


Дли углов $\alpha, \beta, \gamma \leq 90^{\circ}$ треугольника имеем
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} +$
$+ \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2} < 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} +$
$+ 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \gamma + \sin \beta + \sin \alpha$,
при этом использованы неравенства
$\cos ((\alpha - \beta)/2) < 2 \cos (\gamma/2)$,
$\cos ((\alpha - \gamma)/2) < 2 \cos (\beta/2)$,
$\cos ((\beta - \gamma)/2) < 2 \cos (\alpha/2)$
(для доказательства, например, первого из них достаточно заметить, что $\gamma /2 < 60^{\circ}$, откуда
$\cos ((\alpha - \beta)/2) \leq 1 = 2 \cos 60^{\circ} < 2 \cos (\gamma/2)$
остальные неравенства доказываются аналогично).