Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2778
2019-05-03 
а) Найти последнюю цифру чисел $9^{(9^9)}, 2^{(3^4)}$.
б) Найти две последние цифры чисел $2^{999}, 3^{999}$.
в) * Найти две последние цифры числа $14^{(14^14)}$.
Решение:
а) Каждая четная степень 9 представима в виде
$9^{2n} = 81^n = \underbrace {81 \cdot 81 \cdots 81}_{n \:раз}$
и, следовательно, оканчивается цифрой 1. Каждая нечетная степень 9 представима в виде $9^{2n+1} = 9 \cdot 81^n$ и, следовательно, оканчивается цифрой 9 (как произведение числа, оканчивающегося единицей, на 9). В частности, $9^{(9*)}$ есть нечетная степень 9; значит, $9^{(9^9)}$ оканчивается цифрой 9.
Заметим теперь, что любая целая степень 6 оканчивается цифрой 6; действительно, $6^1 = 6$, и если $6^n$ оканчивается на 6, то и $6^{n+1} = 6^n \cdot 6$ оканчивается на 6. Но $16^n$ оканчивается на ту же цифру, что и $6^n$; следовательно, любая целая степень 16 оканчивается цифрой 6. Таким образом, любая степень двойки, кратная четырем, оканчивается шестеркой (ибо $2^{4n} = 16^n$). Но $3^4 - 1$ делится на $3+1 = 4$; значит, $2^{(3^4-1)}$ оканчивается цифрой 6, a $2^{(3^4)} = 2 \cdot 2^{2^{(3^4 - 1)}}$ оканчивается цифрой 2 (как произведение 2 на число, оканчивающееся шестеркой).
б) Нам надо найти остаток от деления $2^{999}$ на 100 (это и есть две последние цифры числа $2^{999}$). Покажем прежде всего, что при делении на 25 число $2^{1000}$ дает остаток 1. Действительно, $2^{10} + 1 = 1024 + 1 = 1025$ делится на 25; следовательно, и $2^{20} - 1 = (2^{10} + 1)(2^{10} - 1)$ делится на 25, а $2^{1000} - 1 = (2^{20})^{50} - 1$ делится на $2^{20} - 1$. Отсюда вытекает, что последние две цифры числа $2^{1000}$ могут образовать число 01, или $01 + 25 = 26$, или $01 + 50 = 51$, или $01 + 75 = 76$; но так как $2^{1000}$, конечно, делится на 4, то этими цифрами могут быть только 76. Таким образом, $2^{999}$ равно частному от деления числа, оканчивающегося на 76, на 2, т. е. оно может оканчиваться только цифрами 38 или 88 (так как $76:2 = 38, 176:2 = 88$). Но так как это число делится на 4, то оно оканчивается цифрами 88.
Найдем теперь остаток от деления числа $3^{999}$ на 100. Напомним, что каждая четная степень 9 оканчивается цифрой 1, а каждая нечетная степень 9 - цифрой 9 (см. решение задачи а)). Воспользовавшись этим, найдем остаток от деления числа $9^5 + 1$ на 100:
$9^5 + 1 = (9 + 1) \cdot (9^4 - 9^3 + 9^2 - 9 + 1) = 10 \cdot (9^4 - 9^3 + 9^2 - 9 + 1)$,
а в алгебраической сумме, стоящей в скобках, каждое из трех положительных слагаемых оканчивается на 1 и каждое из двух отрицательных слагаемых - на 9; таким образом, число $9^4 + 9^2 + 1$ оканчивается на 3, а число $9^3 + 9$ на 8 и, значит, все выражение, стоящее в скобках, оканчивается на 5. Итак, число $9^5 + 1$ при делении на 100 дает остаток $10 \cdot 5 = 50$. Отсюда вытекает, что число $9^{10} - 1 = (9^5 + 1) \cdot (9^5 - 1)$ делится на 100, а так как $3^{1000} - 1 = 9^{500} - 1 = (9^{10})^{50} - 1$ делится на $9^{10} - 1$ (разность целых степеней делится на разность оснований), то и $3^{1000} - 1$ делится на 100. Таким образом, число $3^{1000}$ оканчивается цифрами 01. Но это число делится на 3; следовательно, его число сотен при делении на 3 должно давать в остатке 2 (если бы при делении сотен на 3 в остатке оставалась одна сотня или ни одной, то это число сотен плюс 01 не могло бы делиться на 3). Итак, мы нашли, что число $3^{999} = 3^{1000} : 3$ должно оканчиваться теми же двумя цифрами, что и число $201 : 3 = 67$.
в) Нам надо найти остаток от деления числа $14^{(14^{14})} = (7 \cdot 2)^{(14^{14})}$ на 100, - это и есть две последние цифры числа $14^{(14^{14})}$. Найдем в отдельности остаток от деления на 100 чисел $7^{(14^{14})}$ и $2^{(14^{14})}$.
Число $7^4 - 1 = 2401 - 1 = 2400$ делится на 100. Отсюда следует, что если $n = 4k$ делится на 4, то $7^n - 1$ делится на 100 (ибо $7^{4k} - 1 = (7^4)^k - (1)^k$ делится на $7^4 - 1$). Но $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$ делится на 4; следовательно, $7^{(14^{14})} - 1$ делится на 100 и, значит, число $7^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 01.
Далее, в решении задачи б) было показано, что $2^{20} - 1$ делится на 25; следовательно, если $n = 20k$ делится на 20, то $2^n - 1$ делится на 25. Найдем теперь остаток от деления числа $14^{14}$ на 20. Очевидно, $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$. Но $2^{14} = 4 \cdot 2^{12}$; так как $2^{12} - 1 = (2^4)^3 - 1$ делится на $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$, то $4 (2^{12} - 1)$ делится на 20, а следовательно, $2^{14} = 4 \cdot 2^{12}$ дает при делении на 20 остаток 4. Далее, $7^{14} = 49 \cdot 7^{12}$; так как $7^{12}$ дает при делении на 20 остаток 1 (так как 12 делится на 4, то $7^{12} - 1$ делится на 100), то $49 \cdot 7^{12}$ дает при делении на 20 такой же остаток, как и число 49, т. е. 9. Таким образом, $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$ дает при делении на 20 такой же остаток, как и произведение $4 \cdot 9 = 36$, т. е. остаток $16: 14^{14} = 20K + 16$. А отсюда следует, что $2^{(14^{14})} = 2^{16} \cdot 2^{20K}$ дает при делении на 25 такой же остаток, как и число $2^{16} = 65536$, т. е. $2^{(14^{14})}$ может оканчиваться только цифрами 11, 36, 61 или 86. Но так как $2^{(14^{14})}$ делится на 4, то $2^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 36.
Итак, число $7^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 01, а число $2^{(14^{14})}$ - цифрами 36. Следовательно, их произведение $7^{(14^{14})} \cdot 2^{(14^{14})} = 14^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 36.
Ответ: 36.
а) Найти последнюю цифру чисел $9^{(9^9)}, 2^{(3^4)}$.
б) Найти две последние цифры чисел $2^{999}, 3^{999}$.
в) * Найти две последние цифры числа $14^{(14^14)}$.
Решение:
а) Каждая четная степень 9 представима в виде
$9^{2n} = 81^n = \underbrace {81 \cdot 81 \cdots 81}_{n \:раз}$
и, следовательно, оканчивается цифрой 1. Каждая нечетная степень 9 представима в виде $9^{2n+1} = 9 \cdot 81^n$ и, следовательно, оканчивается цифрой 9 (как произведение числа, оканчивающегося единицей, на 9). В частности, $9^{(9*)}$ есть нечетная степень 9; значит, $9^{(9^9)}$ оканчивается цифрой 9.
Заметим теперь, что любая целая степень 6 оканчивается цифрой 6; действительно, $6^1 = 6$, и если $6^n$ оканчивается на 6, то и $6^{n+1} = 6^n \cdot 6$ оканчивается на 6. Но $16^n$ оканчивается на ту же цифру, что и $6^n$; следовательно, любая целая степень 16 оканчивается цифрой 6. Таким образом, любая степень двойки, кратная четырем, оканчивается шестеркой (ибо $2^{4n} = 16^n$). Но $3^4 - 1$ делится на $3+1 = 4$; значит, $2^{(3^4-1)}$ оканчивается цифрой 6, a $2^{(3^4)} = 2 \cdot 2^{2^{(3^4 - 1)}}$ оканчивается цифрой 2 (как произведение 2 на число, оканчивающееся шестеркой).
б) Нам надо найти остаток от деления $2^{999}$ на 100 (это и есть две последние цифры числа $2^{999}$). Покажем прежде всего, что при делении на 25 число $2^{1000}$ дает остаток 1. Действительно, $2^{10} + 1 = 1024 + 1 = 1025$ делится на 25; следовательно, и $2^{20} - 1 = (2^{10} + 1)(2^{10} - 1)$ делится на 25, а $2^{1000} - 1 = (2^{20})^{50} - 1$ делится на $2^{20} - 1$. Отсюда вытекает, что последние две цифры числа $2^{1000}$ могут образовать число 01, или $01 + 25 = 26$, или $01 + 50 = 51$, или $01 + 75 = 76$; но так как $2^{1000}$, конечно, делится на 4, то этими цифрами могут быть только 76. Таким образом, $2^{999}$ равно частному от деления числа, оканчивающегося на 76, на 2, т. е. оно может оканчиваться только цифрами 38 или 88 (так как $76:2 = 38, 176:2 = 88$). Но так как это число делится на 4, то оно оканчивается цифрами 88.
Найдем теперь остаток от деления числа $3^{999}$ на 100. Напомним, что каждая четная степень 9 оканчивается цифрой 1, а каждая нечетная степень 9 - цифрой 9 (см. решение задачи а)). Воспользовавшись этим, найдем остаток от деления числа $9^5 + 1$ на 100:
$9^5 + 1 = (9 + 1) \cdot (9^4 - 9^3 + 9^2 - 9 + 1) = 10 \cdot (9^4 - 9^3 + 9^2 - 9 + 1)$,
а в алгебраической сумме, стоящей в скобках, каждое из трех положительных слагаемых оканчивается на 1 и каждое из двух отрицательных слагаемых - на 9; таким образом, число $9^4 + 9^2 + 1$ оканчивается на 3, а число $9^3 + 9$ на 8 и, значит, все выражение, стоящее в скобках, оканчивается на 5. Итак, число $9^5 + 1$ при делении на 100 дает остаток $10 \cdot 5 = 50$. Отсюда вытекает, что число $9^{10} - 1 = (9^5 + 1) \cdot (9^5 - 1)$ делится на 100, а так как $3^{1000} - 1 = 9^{500} - 1 = (9^{10})^{50} - 1$ делится на $9^{10} - 1$ (разность целых степеней делится на разность оснований), то и $3^{1000} - 1$ делится на 100. Таким образом, число $3^{1000}$ оканчивается цифрами 01. Но это число делится на 3; следовательно, его число сотен при делении на 3 должно давать в остатке 2 (если бы при делении сотен на 3 в остатке оставалась одна сотня или ни одной, то это число сотен плюс 01 не могло бы делиться на 3). Итак, мы нашли, что число $3^{999} = 3^{1000} : 3$ должно оканчиваться теми же двумя цифрами, что и число $201 : 3 = 67$.
в) Нам надо найти остаток от деления числа $14^{(14^{14})} = (7 \cdot 2)^{(14^{14})}$ на 100, - это и есть две последние цифры числа $14^{(14^{14})}$. Найдем в отдельности остаток от деления на 100 чисел $7^{(14^{14})}$ и $2^{(14^{14})}$.
Число $7^4 - 1 = 2401 - 1 = 2400$ делится на 100. Отсюда следует, что если $n = 4k$ делится на 4, то $7^n - 1$ делится на 100 (ибо $7^{4k} - 1 = (7^4)^k - (1)^k$ делится на $7^4 - 1$). Но $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$ делится на 4; следовательно, $7^{(14^{14})} - 1$ делится на 100 и, значит, число $7^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 01.
Далее, в решении задачи б) было показано, что $2^{20} - 1$ делится на 25; следовательно, если $n = 20k$ делится на 20, то $2^n - 1$ делится на 25. Найдем теперь остаток от деления числа $14^{14}$ на 20. Очевидно, $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$. Но $2^{14} = 4 \cdot 2^{12}$; так как $2^{12} - 1 = (2^4)^3 - 1$ делится на $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$, то $4 (2^{12} - 1)$ делится на 20, а следовательно, $2^{14} = 4 \cdot 2^{12}$ дает при делении на 20 остаток 4. Далее, $7^{14} = 49 \cdot 7^{12}$; так как $7^{12}$ дает при делении на 20 остаток 1 (так как 12 делится на 4, то $7^{12} - 1$ делится на 100), то $49 \cdot 7^{12}$ дает при делении на 20 такой же остаток, как и число 49, т. е. 9. Таким образом, $14^{14} = 2^{14} \cdot 7^{14}$ дает при делении на 20 такой же остаток, как и произведение $4 \cdot 9 = 36$, т. е. остаток $16: 14^{14} = 20K + 16$. А отсюда следует, что $2^{(14^{14})} = 2^{16} \cdot 2^{20K}$ дает при делении на 25 такой же остаток, как и число $2^{16} = 65536$, т. е. $2^{(14^{14})}$ может оканчиваться только цифрами 11, 36, 61 или 86. Но так как $2^{(14^{14})}$ делится на 4, то $2^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 36.
Итак, число $7^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 01, а число $2^{(14^{14})}$ - цифрами 36. Следовательно, их произведение $7^{(14^{14})} \cdot 2^{(14^{14})} = 14^{(14^{14})}$ оканчивается цифрами 36.
Ответ: 36.
