Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2777
2019-05-03 
Найти остаток от деления на 7 числа
$10^{10} + 10^{(10^2)} + \cdots + 10^{(10^{10})}$.
Решение:
Заметим прежде всего, что $10^6 - 1 = 999999$ делится на 7 (так как $999999 = 7 \cdot 142857$). Отсюда легко следует, что $10^N$ - какое угодно целое число, дает при делении на 7 такой же остаток, как и $10^r$, где $r$ есть остаток от деления $N$ на 6. Действительно, если $N = 6k + r$, то
$10^N - 10^r = 10^{6k+r} - 10^r = 10^r (10^{6k} - 1) = 10^r \cdot (10^6 - 1)(10^{6k-6} + 10^{6k-12} \cdots + 10^6 + 1)$
делится на 7.
Но любая целая степень 10 дает при делении на 6 остаток 4; в самом деле, $10^n - 4 = \underbrace{999 \cdots 96}_{(n-1) \:раз}$ всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$ (в силу признаков делимости на 2 и на 3). Таким образом, все сложные показатели степени у слагаемых нашей суммы дают при делении на 6 остаток 4. Следовательно, каждое из этих 10 слагаемых дает при делении на 7 такой же остаток, как и число $10^4$, а вся сумма - такой же остаток, как и число
$10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 = 10^5 = 100000 = 7 \cdot 14285 + 5$.
Итак, искомый остаток равен 5.
Ответ: 5.
Найти остаток от деления на 7 числа
$10^{10} + 10^{(10^2)} + \cdots + 10^{(10^{10})}$.
Решение:
Заметим прежде всего, что $10^6 - 1 = 999999$ делится на 7 (так как $999999 = 7 \cdot 142857$). Отсюда легко следует, что $10^N$ - какое угодно целое число, дает при делении на 7 такой же остаток, как и $10^r$, где $r$ есть остаток от деления $N$ на 6. Действительно, если $N = 6k + r$, то
$10^N - 10^r = 10^{6k+r} - 10^r = 10^r (10^{6k} - 1) = 10^r \cdot (10^6 - 1)(10^{6k-6} + 10^{6k-12} \cdots + 10^6 + 1)$
делится на 7.
Но любая целая степень 10 дает при делении на 6 остаток 4; в самом деле, $10^n - 4 = \underbrace{999 \cdots 96}_{(n-1) \:раз}$ всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$ (в силу признаков делимости на 2 и на 3). Таким образом, все сложные показатели степени у слагаемых нашей суммы дают при делении на 6 остаток 4. Следовательно, каждое из этих 10 слагаемых дает при делении на 7 такой же остаток, как и число $10^4$, а вся сумма - такой же остаток, как и число
$10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 + 10^4 = 10^5 = 100000 = 7 \cdot 14285 + 5$.
Итак, искомый остаток равен 5.
Ответ: 5.
