Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2776
2019-05-03 
Доказать, что число, составленное из $3^n$ одинаковых цифр, делится на $3^n$ (так, число 222 делится на 3, число 777 777 777 делится на 9, и т.д.).
Решение:
Воспользуемся методом математической индукции. Число $\overline {aaa}$, составленное из трех одинаковых цифр $a$ (черта наверху поставлена, чтобы не путать с произведением $a \cdot a \cdot a$), делится на 3 (так как сумма цифр этого числа, равная $3a$, делится на 3). Далее, предположим, что наше утверждение уже доказано для каждого числа, составленного из $3^n$ одинаковых цифр. Число, составленное из $3^{n+1}$ одинаковых цифр, можно представить в следующем виде:
$\overline {\underbrace{aa \cdots a}_{3^n \:раз} \underbrace{aa \cdots a}_{3^n \:раз} \underbrace{aa \cdots a}_{3^n \:раз} } = \overline {\underbrace{aa \cdots a}_{3^n \:раз} } \cdot \underbrace{100 \cdots 0}_{3^n \:цифр} 1 \underbrace{00 \cdots 01}_{3^n \:цифр}$.
Но из двух сомножителей первый в силу предположения индукции делится на $3^n$, а второй делится на 3 (сумма цифр этого числа равна 3); следовательно, все произведение делится на $3^{n+1}$.
Доказать, что число, составленное из $3^n$ одинаковых цифр, делится на $3^n$ (так, число 222 делится на 3, число 777 777 777 делится на 9, и т.д.).
Решение:
Воспользуемся методом математической индукции. Число $\overline {aaa}$, составленное из трех одинаковых цифр $a$ (черта наверху поставлена, чтобы не путать с произведением $a \cdot a \cdot a$), делится на 3 (так как сумма цифр этого числа, равная $3a$, делится на 3). Далее, предположим, что наше утверждение уже доказано для каждого числа, составленного из $3^n$ одинаковых цифр. Число, составленное из $3^{n+1}$ одинаковых цифр, можно представить в следующем виде:
$\overline {\underbrace{aa \cdots a}_{3^n \:раз} \underbrace{aa \cdots a}_{3^n \:раз} \underbrace{aa \cdots a}_{3^n \:раз} } = \overline {\underbrace{aa \cdots a}_{3^n \:раз} } \cdot \underbrace{100 \cdots 0}_{3^n \:цифр} 1 \underbrace{00 \cdots 01}_{3^n \:цифр}$.
Но из двух сомножителей первый в силу предположения индукции делится на $3^n$, а второй делится на 3 (сумма цифр этого числа равна 3); следовательно, все произведение делится на $3^{n+1}$.
