Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2775
2019-05-03 
Доказать, что $2222^{5555} + 5555^{2222}$ делится на 7.
Решение:
$2222^{5555} + 5555^{2222} = (2222^{5555} + 4^{5555}) + (5555^{2222} - 4^{2222}) - (4^{5555} - 4^{2222})$.
Из трех выражений, стоящих в круглых скобках, первое делится на $2222 + 4 = 2226 = 7 \cdot 318$ (сумма нечетных степеней делится на сумму оснований) и, следовательно, делится на 7; второе тоже делится на 7, так как оно делится на $5555 - 4 = 5551 = 7 \cdot 793$ (разность любых целых степеней делится на разность оснований). Что касается третьего выражения, то его можно переписать в виде
$4^{2222} (4^{3333} - 1) = 4^{2222} (64^{1111} - 1)$,
откуда видно, что оно делится на разность $64 - 1 = 63$ и, следовательно, делится на 7 (разность одинаковых целых степеней делится на разность оснований).
Доказать, что $2222^{5555} + 5555^{2222}$ делится на 7.
Решение:
$2222^{5555} + 5555^{2222} = (2222^{5555} + 4^{5555}) + (5555^{2222} - 4^{2222}) - (4^{5555} - 4^{2222})$.
Из трех выражений, стоящих в круглых скобках, первое делится на $2222 + 4 = 2226 = 7 \cdot 318$ (сумма нечетных степеней делится на сумму оснований) и, следовательно, делится на 7; второе тоже делится на 7, так как оно делится на $5555 - 4 = 5551 = 7 \cdot 793$ (разность любых целых степеней делится на разность оснований). Что касается третьего выражения, то его можно переписать в виде
$4^{2222} (4^{3333} - 1) = 4^{2222} (64^{1111} - 1)$,
откуда видно, что оно делится на разность $64 - 1 = 63$ и, следовательно, делится на 7 (разность одинаковых целых степеней делится на разность оснований).
