ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-03   
Доказать, что $27 195^8 - 10887^8 + 10 152^8$ делится без остатка на 26460.


Решение:


Нам надо показать, что число

$N = 27195^8 - 10887^8 + 10152^8$

делится без остатка на $26460 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7^2$. Доказательство проводится в два приема.

1. $N = 27195^8 - (10887^8 - 10152^8)$.

Но $27195 = 3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 37$; следовательно, это число делится на $5 \cdot 7^2$. С другой стороны, разность, заключенная в круглые скобки, делится на

$10887 - 10152 = 735 = 3 \cdot 5 \cdot 7^2$

(ибо разность восьмых степеней двух чисел делится на разность оснований). Отсюда следует, что $N$ делится на $5 \cdot 7^2$.

2. $N = (27195^8 - 10887^8) + 10152^8$.

Но $10152 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 47$ делится на $2^2 \cdot 3^3$. С другой стороны, разность, заключенная в круглые скобки, делится на

$27195 - 10887 = 16308 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 151$.

Таким образом, $N$ делится на $2^2 \cdot 3^3$.

Так как $N$ делится на $5 \cdot 7^2$ и $2^2 \cdot 3^3$, то $N$ делится и на произведение этих чисел, равное 26460.