Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2772
2019-05-03 
Пусть $a$ - последняя цифра целого числа $N = 2^k$, $A$ - число, в которое обращается $N$, если зачеркнуть в нем эту последнюю цифру. Доказать, что при всех $k > 3$ число $aA$ делится на 6.
Решение:
Поскольку $a$, очевидно, число четное, то нам надо только доказать, что произведение $aA$ делится на 3. Так как последняя цифра числа $2^{k+1} = 2N$ та же, что и у числа $2a$ (где $а$ - последняя цифра $N$), то, последовательно умножая степени двойки еще на 2 (т. е. последовательно увеличивая показатель степени), мы найдем, что последние цифры чисел ряда $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32, \cdots$ образуют следующую периодически повторяющуюся последовательность:
$2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \cdots$
С другой стороны, если $2^k = N$ дает при делении на 3 остаток 1, то число $2^{k+1} = 2N$ дает при делении на 3 остаток 2, а если $N = 3l + 2$, то число $2^{k+1} = 2N$ имеет вид $3 \cdot (2l) + 4 = 3 \cdot (2l + 1) + 1$, т. е. дает при делении на 3 остаток 1; поэтому та же последовательность степеней двойки дает при делении на 3 следующие чередующиеся остатки:
$2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, \cdots$
Таким образом, если число $N$ кончается цифрой 2 или 8 (если $a = 2$ или $a = 8$), то $N$ при делении на 3 дает остаток 2, а если $а = 4$, то $N$ при делении на 3 дает остаток 1 (случай же, когда $a = 6$, нам вообще не интересен, ибо здесь произведение $aA = 6A$ наверняка будет делиться на 6). Отсюда следует, что во всех этих трех случаях число $N - a = 10A$ делится на 3, а значит, и $A$ будет делиться на 3. Таким образом, произведение $aA$ делится на 6 при всех $k \geq 1$; однако при $k = 1, 2 \:или 3$ это заключение неинтересно, ибо здесь $А = 0$ (и $aA = 0$ делится на любое число).
Пусть $a$ - последняя цифра целого числа $N = 2^k$, $A$ - число, в которое обращается $N$, если зачеркнуть в нем эту последнюю цифру. Доказать, что при всех $k > 3$ число $aA$ делится на 6.
Решение:
Поскольку $a$, очевидно, число четное, то нам надо только доказать, что произведение $aA$ делится на 3. Так как последняя цифра числа $2^{k+1} = 2N$ та же, что и у числа $2a$ (где $а$ - последняя цифра $N$), то, последовательно умножая степени двойки еще на 2 (т. е. последовательно увеличивая показатель степени), мы найдем, что последние цифры чисел ряда $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32, \cdots$ образуют следующую периодически повторяющуюся последовательность:
$2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \cdots$
С другой стороны, если $2^k = N$ дает при делении на 3 остаток 1, то число $2^{k+1} = 2N$ дает при делении на 3 остаток 2, а если $N = 3l + 2$, то число $2^{k+1} = 2N$ имеет вид $3 \cdot (2l) + 4 = 3 \cdot (2l + 1) + 1$, т. е. дает при делении на 3 остаток 1; поэтому та же последовательность степеней двойки дает при делении на 3 следующие чередующиеся остатки:
$2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, \cdots$
Таким образом, если число $N$ кончается цифрой 2 или 8 (если $a = 2$ или $a = 8$), то $N$ при делении на 3 дает остаток 2, а если $а = 4$, то $N$ при делении на 3 дает остаток 1 (случай же, когда $a = 6$, нам вообще не интересен, ибо здесь произведение $aA = 6A$ наверняка будет делиться на 6). Отсюда следует, что во всех этих трех случаях число $N - a = 10A$ делится на 3, а значит, и $A$ будет делиться на 3. Таким образом, произведение $aA$ делится на 6 при всех $k \geq 1$; однако при $k = 1, 2 \:или 3$ это заключение неинтересно, ибо здесь $А = 0$ (и $aA = 0$ делится на любое число).
