Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2771
2019-05-03 
Найти наименьшее целое число, записываемое одними единицами, которое делится без остатка на число $\underbrace{333 \cdots 33}_{100 \:троек}$.
Решение:
Ясно, что $d = \underbrace {333 \cdots 33}_{100 \:троек} = \underbrace {3 \cdot 111 \cdots 11}_{100 \:единиц} = 3n$; поэтому искомое число $N = \underbrace{1111 \cdots 11}_{h \:единиц}$ должно делиться без остатка на числа $n$ и 3 ($n$ не делится на 3, ибо сумма цифр числа $n$, равная 100, не делится на 3). Но если число $k = 100q + r$, где $r < 100$ (но $r \geq 0$) то, очевидно, $N = \underbrace {11 \cdots 11}_{100q \:единиц} \underbrace {00 \cdots 00}_{r \:нулей} + \underbrace {11 \cdots 11}_{r \:единиц} = M + R$, где $R = \underbrace {11 \cdots 11}_{r \:единиц}$, а $M = \underbrace {11 \cdots 11}_{100q \:единиц} \underbrace {00 \cdots 00}_{r \:нулей}$ делится на $n$ (для того чтобы убедится в этом, достаточно представить себе процесс деления «углом» $М$ на $n$). Таким образом, $N$ делится на $n$ в том и только в том случае, когда $R = 0$, т. е. когда $r = 0$, и, значит, $k$ делится на 100.
Теперь, если $k = 100q$, то сумма цифр числа $N$ равна $100q$; она делится на 3 (а значит - и $N$ делится на 3) в том и только в том случае, если $q$ делится на 3. Поэтому, наименьшее число $N = \underbrace{111 \cdots 11}_{k \:единиц}$, делящееся на $d$, будет состоять из 300 единиц.
Ответ: Искомое число состоит из 300 единиц.
Найти наименьшее целое число, записываемое одними единицами, которое делится без остатка на число $\underbrace{333 \cdots 33}_{100 \:троек}$.
Решение:
Ясно, что $d = \underbrace {333 \cdots 33}_{100 \:троек} = \underbrace {3 \cdot 111 \cdots 11}_{100 \:единиц} = 3n$; поэтому искомое число $N = \underbrace{1111 \cdots 11}_{h \:единиц}$ должно делиться без остатка на числа $n$ и 3 ($n$ не делится на 3, ибо сумма цифр числа $n$, равная 100, не делится на 3). Но если число $k = 100q + r$, где $r < 100$ (но $r \geq 0$) то, очевидно, $N = \underbrace {11 \cdots 11}_{100q \:единиц} \underbrace {00 \cdots 00}_{r \:нулей} + \underbrace {11 \cdots 11}_{r \:единиц} = M + R$, где $R = \underbrace {11 \cdots 11}_{r \:единиц}$, а $M = \underbrace {11 \cdots 11}_{100q \:единиц} \underbrace {00 \cdots 00}_{r \:нулей}$ делится на $n$ (для того чтобы убедится в этом, достаточно представить себе процесс деления «углом» $М$ на $n$). Таким образом, $N$ делится на $n$ в том и только в том случае, когда $R = 0$, т. е. когда $r = 0$, и, значит, $k$ делится на 100.
Теперь, если $k = 100q$, то сумма цифр числа $N$ равна $100q$; она делится на 3 (а значит - и $N$ делится на 3) в том и только в том случае, если $q$ делится на 3. Поэтому, наименьшее число $N = \underbrace{111 \cdots 11}_{k \:единиц}$, делящееся на $d$, будет состоять из 300 единиц.
Ответ: Искомое число состоит из 300 единиц.
