Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2770
2019-05-03 
Доказать, что единственными числами $К$ такими, что если $N$ делится на $К$, то и любое число, полученное из $N$ перестановкой цифр, делится на $К$, являются 1, 3 и 9. (Для $К = 1$ это свойство очевидно, для $К = 3$ и $К = 9$ следует из известных признаков делимости на 3 и на 9.)
Решение:
Пусть $К$ есть $n$-значное число. Среди $(n+2)$-значных чисел, начинающихся цифрами 1, 0 (т. е. среди чисел вида $\overline {10A_1A_2 \cdots A_n}$ где $1, 0, A_1, \cdots, A_n$ - цифры числа), всегда найдется, по крайней мере, одно, делящееся на $К$. Пусть это число есть $\overline {10b_1b_2 \cdots b_n}$. Тогда, по условию, числа $\overline {b_1b_2 \cdots b_n 10}$ и $\overline {b_1b_2 \cdots b_n 01}$ оба делятся на $К$. Их разность равна 9 и также делится на $К$. Но у 9 делителями служат лишь 1, 3 и 9, откуда и следует наше утверждение.
Доказать, что единственными числами $К$ такими, что если $N$ делится на $К$, то и любое число, полученное из $N$ перестановкой цифр, делится на $К$, являются 1, 3 и 9. (Для $К = 1$ это свойство очевидно, для $К = 3$ и $К = 9$ следует из известных признаков делимости на 3 и на 9.)
Решение:
Пусть $К$ есть $n$-значное число. Среди $(n+2)$-значных чисел, начинающихся цифрами 1, 0 (т. е. среди чисел вида $\overline {10A_1A_2 \cdots A_n}$ где $1, 0, A_1, \cdots, A_n$ - цифры числа), всегда найдется, по крайней мере, одно, делящееся на $К$. Пусть это число есть $\overline {10b_1b_2 \cdots b_n}$. Тогда, по условию, числа $\overline {b_1b_2 \cdots b_n 10}$ и $\overline {b_1b_2 \cdots b_n 01}$ оба делятся на $К$. Их разность равна 9 и также делится на $К$. Но у 9 делителями служат лишь 1, 3 и 9, откуда и следует наше утверждение.
