Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 277
2014-06-07 
Доказать, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ любого треугольника справедливо неравенство
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma \geq 3/4$.
Определить, когда достигается равенство. Доказать, что величина $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma$ не принимает наибольшего значения.
Решение:
Обозначим
$f(\alpha, \beta, \gamma) = \cos^{2} \beta + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma$,
где $\alpha, \beta, \gamma$ - углы треугольника. Тогда $\alpha + \beta + \gamma = 180{\circ}$, следовательно,
$4 \left ( f(\alpha, \beta, \gamma) - \frac{3}{4} \right ) = 4 \left ( \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} + \frac{1 + \cos 2 \beta}{2} + \frac{1 + \cos 2 \gamma}{2} - \frac{3}{4} \right ) =$
$= 2 \cos 2 \alpha + 2 \cos 2 \beta + 2 \cos 2 \gamma + 3 = 4 \cos (\alpha + \beta) \cos ( \alpha - \beta) +$
$+ 4 \cos^{2} (\alpha + \beta) + 1 = (2 \cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))^{2} + 1 - \cos^{2}(\alpha - \beta) \geq 0$,
откуда вытекает требуемое неравенство
$f( \alpha, \beta, \gamma) \geq 3/4$.
При этом равенство достигается тогда н только тогда, когда
$\cos (\alpha + \beta) = - 1/2$, т. е. при $\alpha = \beta = \gamma = 60^{ \circ}$.
Заметим, что величина $f( \alpha, \beta, \gamma)$ не принимает наибольшего значения, так как для любого набора углов $\alpha, \bets, \gamma$ треугольника при достаточно малом положительном значении $\varepsilon$ выполнены оценки
$\varepsilon < \alpha, \beta, \gamma < 180^{ \circ} – 2 \varepsilon$,
из которых получаем
$|\cos \alpha | < \cos \varepsilon, |\cos \beta | < \cos \varepsilon, |\cos \gamma | < \cos \varepsilon$
и
$f(\alpha, \beta, \gamma) < f(\varepsilon, \varepsilon, 180^{\circ} – 2 \varepsilon)$.
Доказать, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ любого треугольника справедливо неравенство
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma \geq 3/4$.
Определить, когда достигается равенство. Доказать, что величина $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma$ не принимает наибольшего значения.
Решение:
Обозначим
$f(\alpha, \beta, \gamma) = \cos^{2} \beta + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma$,
где $\alpha, \beta, \gamma$ - углы треугольника. Тогда $\alpha + \beta + \gamma = 180{\circ}$, следовательно,
$4 \left ( f(\alpha, \beta, \gamma) - \frac{3}{4} \right ) = 4 \left ( \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} + \frac{1 + \cos 2 \beta}{2} + \frac{1 + \cos 2 \gamma}{2} - \frac{3}{4} \right ) =$
$= 2 \cos 2 \alpha + 2 \cos 2 \beta + 2 \cos 2 \gamma + 3 = 4 \cos (\alpha + \beta) \cos ( \alpha - \beta) +$
$+ 4 \cos^{2} (\alpha + \beta) + 1 = (2 \cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))^{2} + 1 - \cos^{2}(\alpha - \beta) \geq 0$,
откуда вытекает требуемое неравенство
$f( \alpha, \beta, \gamma) \geq 3/4$.
При этом равенство достигается тогда н только тогда, когда
$\cos (\alpha + \beta) = - 1/2$, т. е. при $\alpha = \beta = \gamma = 60^{ \circ}$.
Заметим, что величина $f( \alpha, \beta, \gamma)$ не принимает наибольшего значения, так как для любого набора углов $\alpha, \bets, \gamma$ треугольника при достаточно малом положительном значении $\varepsilon$ выполнены оценки
$\varepsilon < \alpha, \beta, \gamma < 180^{ \circ} – 2 \varepsilon$,
из которых получаем
$|\cos \alpha | < \cos \varepsilon, |\cos \beta | < \cos \varepsilon, |\cos \gamma | < \cos \varepsilon$
и
$f(\alpha, \beta, \gamma) < f(\varepsilon, \varepsilon, 180^{\circ} – 2 \varepsilon)$.
