Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2769
2019-05-03 
Число 123456789(10)(11)(12)(13)(14) написано по 15-ричной системе счисления, т. е. это число равно
$(14) + (13) \cdot 15 +(12) \cdot 15^2 + (11) \cdot 15^3 + \cdots + 2 \cdot 15^{12} + l5^{13}$.
Какой остаток дает оно при делении на 7?
Решение:
Число 15 дает при делении на 7 остаток 1. Отсюда следует, что и
$15^2 = (7 \cdot 2 + 1) \cdot (7 \cdot 2 + 1) = 7n_1 + 1$
дает при делении на 7 остаток 1,
$15^3 = 15^2 \cdot 15 = (7n_1 + 1) \cdot (7 \cdot 2 + 1) = 7n_2 + 1$
дает при делении на 7 остаток 1, и вообще любая степень числа 15 при делении на 7 дает остаток 1. Если мы теперь вычтем из заданного нам числа сумму $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 14 = 105$, то, сгруппировав соответствующим образом члены, мы получим:
$13 (15-1) + 12 (15^2 - 1) + 11 (15^3 - 1) + \cdots + 2 (15^12 - 1) + 1 (15^13 - 1)$,
т. е. число, делящееся на 7. Но из того, что разность заданного числа и числа $105 = 7 \cdot 15$ делится на 7, следует, что исходное число тоже делится на 7.
Число 123456789(10)(11)(12)(13)(14) написано по 15-ричной системе счисления, т. е. это число равно
$(14) + (13) \cdot 15 +(12) \cdot 15^2 + (11) \cdot 15^3 + \cdots + 2 \cdot 15^{12} + l5^{13}$.
Какой остаток дает оно при делении на 7?
Решение:
Число 15 дает при делении на 7 остаток 1. Отсюда следует, что и
$15^2 = (7 \cdot 2 + 1) \cdot (7 \cdot 2 + 1) = 7n_1 + 1$
дает при делении на 7 остаток 1,
$15^3 = 15^2 \cdot 15 = (7n_1 + 1) \cdot (7 \cdot 2 + 1) = 7n_2 + 1$
дает при делении на 7 остаток 1, и вообще любая степень числа 15 при делении на 7 дает остаток 1. Если мы теперь вычтем из заданного нам числа сумму $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 14 = 105$, то, сгруппировав соответствующим образом члены, мы получим:
$13 (15-1) + 12 (15^2 - 1) + 11 (15^3 - 1) + \cdots + 2 (15^12 - 1) + 1 (15^13 - 1)$,
т. е. число, делящееся на 7. Но из того, что разность заданного числа и числа $105 = 7 \cdot 15$ делится на 7, следует, что исходное число тоже делится на 7.
