Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2768
2019-05-03 
Вывести признак делимости чисел на 11.
Решение:
Пусть $N = A_n \cdot 10^n + A_{n-1} \cdot 10^{n-1} + A_{n-2} \cdot 10^{n-2} + \cdots + A_1 \cdot 10 + A_0$ - данное число ($A_n, A_{n-1}, A_{n-2}, \cdots, A_1, A_0$ - цифры числа, которые могут принимать значения $0, 1, 2, \cdots, 9$).
Вычтем из $N$ число
$M = A_0 - A_1 + A_2 - A_3 + \cdots \pm A_n$,
представляющее собой алгебраическую сумму цифр числа $N$, взятых с чередующимися знаками. Группируя подходящим образом члены, мы получим число
$N - M = A_1 (10 + 1) + A_2 (10^2 - 1) + A_3 (10^3 + 1) + A_4 (10^4 - 1) + \cdots + A_n (10^n \pm 1)$,
делящееся на 11, ибо каждое его слагаемое делится на 11. (Из того, что при перемножении чисел остатки, даваемые ими при делении на некоторое число, перемножаются, легко вывести, что
$10^k = (11 - 1)^k$
дает при делении на 11 остаток - 1 при $k$ нечетном и остаток + 1 при $k$ четном.) Таким образом, разность $N - М$ делится на 11, т. е. число $N$ делится или не делится на 11 одновременно с числом $М$.
Вывести признак делимости чисел на 11.
Решение:
Пусть $N = A_n \cdot 10^n + A_{n-1} \cdot 10^{n-1} + A_{n-2} \cdot 10^{n-2} + \cdots + A_1 \cdot 10 + A_0$ - данное число ($A_n, A_{n-1}, A_{n-2}, \cdots, A_1, A_0$ - цифры числа, которые могут принимать значения $0, 1, 2, \cdots, 9$).
Вычтем из $N$ число
$M = A_0 - A_1 + A_2 - A_3 + \cdots \pm A_n$,
представляющее собой алгебраическую сумму цифр числа $N$, взятых с чередующимися знаками. Группируя подходящим образом члены, мы получим число
$N - M = A_1 (10 + 1) + A_2 (10^2 - 1) + A_3 (10^3 + 1) + A_4 (10^4 - 1) + \cdots + A_n (10^n \pm 1)$,
делящееся на 11, ибо каждое его слагаемое делится на 11. (Из того, что при перемножении чисел остатки, даваемые ими при делении на некоторое число, перемножаются, легко вывести, что
$10^k = (11 - 1)^k$
дает при делении на 11 остаток - 1 при $k$ нечетном и остаток + 1 при $k$ четном.) Таким образом, разность $N - М$ делится на 11, т. е. число $N$ делится или не делится на 11 одновременно с числом $М$.
