Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2767
2019-05-03 
Доказать, что сумма
$1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$,
где $n$ есть произвольное целое положительное число, а $k$ нечетно, делится на $1+2+3+ \cdots + n$.
Решение:
Сумма $1+2+3+ \cdots + n$ равна $\frac {n(n+1)}{2}$ следовательно, нам надо доказать, что если $k$ нечетно, то $S_k = 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$ делится на $\frac {n(n+1)}{2}$.
Отметим прежде всего, что при $k$ нечетном $a^k + b^k$ делится на $a+b$. Рассмотрим теперь отдельно два случая:
А. Число $n$ четно. В таком случае сумма $S_k$ делится на $n+1$, так как каждая из сумм
$1^k + n^k, 2^k + (n-1)^k, 3^k + (n-2)^k, \cdots, \left ( \frac{n}{2} \right )^k + \left ( \frac{n}{2} + 1 \right )^k$
делится на
$1 + n \left [ = 2 + (n-1) = 3 + (n-2) = \cdots = \frac{n}{2} + \left ( \frac{n}{2} + 1 \right ) \right ]$;
сумма $S_k$ делится также на $\frac{n}{2}$, ибо $1^k + (n-1)^k, 2^k + (n-2)^k, 3^k + (n-3)^k, \cdots, \left ( \frac{n}{2} - 1 \right )^k + \left ( \frac{n}{2} + 1 \right )^k, \left ( \frac{n}{2} \right )^k \cdot n^k$ все делятся на $\frac{n}{2}$.
Б. Число $n$ нечетно. В этом случае сумма $S_k$ делится на $\frac{n+1}{2}$, так как $1^k + n^k, 2^k + (n-1)^k, 3^k + (n-2)^k, \cdots, \left ( \frac{n-1}{2} \right )^k + \left ( \frac{n+3}{2} \right )^k, \left ( \frac{n+1}{2} \right )^k$ все делятся на $\frac{n+1}{2}$; $S_k$ делится также на $n$, так как $1^k + (n-1)^k, 2^k + (n-2)^k, 3^k + (n-3)^k, \cdots, \left ( \frac{n-1}{2} \right )^k + \left ( \frac{n+1}{2} \right )^k, n^k$ все делятся на $n$.
Доказать, что сумма
$1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$,
где $n$ есть произвольное целое положительное число, а $k$ нечетно, делится на $1+2+3+ \cdots + n$.
Решение:
Сумма $1+2+3+ \cdots + n$ равна $\frac {n(n+1)}{2}$ следовательно, нам надо доказать, что если $k$ нечетно, то $S_k = 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$ делится на $\frac {n(n+1)}{2}$.
Отметим прежде всего, что при $k$ нечетном $a^k + b^k$ делится на $a+b$. Рассмотрим теперь отдельно два случая:
А. Число $n$ четно. В таком случае сумма $S_k$ делится на $n+1$, так как каждая из сумм
$1^k + n^k, 2^k + (n-1)^k, 3^k + (n-2)^k, \cdots, \left ( \frac{n}{2} \right )^k + \left ( \frac{n}{2} + 1 \right )^k$
делится на
$1 + n \left [ = 2 + (n-1) = 3 + (n-2) = \cdots = \frac{n}{2} + \left ( \frac{n}{2} + 1 \right ) \right ]$;
сумма $S_k$ делится также на $\frac{n}{2}$, ибо $1^k + (n-1)^k, 2^k + (n-2)^k, 3^k + (n-3)^k, \cdots, \left ( \frac{n}{2} - 1 \right )^k + \left ( \frac{n}{2} + 1 \right )^k, \left ( \frac{n}{2} \right )^k \cdot n^k$ все делятся на $\frac{n}{2}$.
Б. Число $n$ нечетно. В этом случае сумма $S_k$ делится на $\frac{n+1}{2}$, так как $1^k + n^k, 2^k + (n-1)^k, 3^k + (n-2)^k, \cdots, \left ( \frac{n-1}{2} \right )^k + \left ( \frac{n+3}{2} \right )^k, \left ( \frac{n+1}{2} \right )^k$ все делятся на $\frac{n+1}{2}$; $S_k$ делится также на $n$, так как $1^k + (n-1)^k, 2^k + (n-2)^k, 3^k + (n-3)^k, \cdots, \left ( \frac{n-1}{2} \right )^k + \left ( \frac{n+1}{2} \right )^k, n^k$ все делятся на $n$.
