Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2766
2019-05-03 
Пусть $N$ - четное число, не делящееся на 10. Какова будет цифра десятков числа $N^{20}$? Какова будет цифра сотен числа $N^{200}$?
Решение:
Найдем две последние цифры числа $N^{20}$. Число $N^{20}$ делится на 4 (ибо $N$ четно). Далее, число $N$ не делится на 5 (иначе оно делилось бы на 10) и, значит, представимо в виде $5k \pm 1$ или в виде $5k \pm 2$ (ср. с решением задачи 2763). Но число
$(5k \pm 1)^{20} = (5k)^{20} \pm 20 (5k)^{19} + \cdots + \frac {20 \cdot 19}{1 \cdot 2}(5k)^2 \pm 20 \cdot 5k + 1$
дает при делении на 25 остаток 1, а число
$(5k \pm 2)^{20} = (5k)^{20} \pm 20 (5k)^{19} \cdot 2 + \cdots + \frac{20 \cdot 19}{1 \cdot 2} (5k)^2 \cdot 2^{18} \pm 20 \cdot 5k \cdot 2^19 + 2^20$
дает при делении на 25 тот же остаток, что и число $2^{20} = (2^{10})^2 = (1024)^2 = (1025 - 1)^2$, т. е. тоже остаток 1. Из того, что число $N^{20}$ дает при делении на 25 остаток 1, следует, что последними двумя цифрами этого числа могут быть лишь цифры 01, 26, 51 или 76. Учитывая еще, что $N^{20}$ должно делиться на 4, получим, что двумя последними цифрами этого числа могут быть лишь цифры 76. Итак, цифрой десятков числа $N^20$ будет цифра 7.
Найдем теперь три последние цифры числа $N^{200}$. Число $N^{200}$ делится на 8. Далее, так как $N$ взаимно просто с 5, то $N^{100}$ дает при делении на 125 остаток 1 (см. решение задачи 2763): $N^{100} = 125k + 1$. Но тогда и $N^{200} = (125k + 1)^2 = 125^2k^{2} + 250k + 1$ дает при делении на 125 остаток 1. Следовательно, $N^{200}$ может оканчиваться цифрами 126, 251, 376, 501, 626, 751 или 876; но так как $N^{200}$ делится на 8, то оно должно оканчиваться цифрами 376. Итак, цифра сотен числа $N^{200}$ равна 3.
Примечание. Нетрудно видеть, что уже число $N^{100}$ обязательно оканчивается тремя цифрами 376.
Ответ: 7; 3.
Пусть $N$ - четное число, не делящееся на 10. Какова будет цифра десятков числа $N^{20}$? Какова будет цифра сотен числа $N^{200}$?
Решение:
Найдем две последние цифры числа $N^{20}$. Число $N^{20}$ делится на 4 (ибо $N$ четно). Далее, число $N$ не делится на 5 (иначе оно делилось бы на 10) и, значит, представимо в виде $5k \pm 1$ или в виде $5k \pm 2$ (ср. с решением задачи 2763). Но число
$(5k \pm 1)^{20} = (5k)^{20} \pm 20 (5k)^{19} + \cdots + \frac {20 \cdot 19}{1 \cdot 2}(5k)^2 \pm 20 \cdot 5k + 1$
дает при делении на 25 остаток 1, а число
$(5k \pm 2)^{20} = (5k)^{20} \pm 20 (5k)^{19} \cdot 2 + \cdots + \frac{20 \cdot 19}{1 \cdot 2} (5k)^2 \cdot 2^{18} \pm 20 \cdot 5k \cdot 2^19 + 2^20$
дает при делении на 25 тот же остаток, что и число $2^{20} = (2^{10})^2 = (1024)^2 = (1025 - 1)^2$, т. е. тоже остаток 1. Из того, что число $N^{20}$ дает при делении на 25 остаток 1, следует, что последними двумя цифрами этого числа могут быть лишь цифры 01, 26, 51 или 76. Учитывая еще, что $N^{20}$ должно делиться на 4, получим, что двумя последними цифрами этого числа могут быть лишь цифры 76. Итак, цифрой десятков числа $N^20$ будет цифра 7.
Найдем теперь три последние цифры числа $N^{200}$. Число $N^{200}$ делится на 8. Далее, так как $N$ взаимно просто с 5, то $N^{100}$ дает при делении на 125 остаток 1 (см. решение задачи 2763): $N^{100} = 125k + 1$. Но тогда и $N^{200} = (125k + 1)^2 = 125^2k^{2} + 250k + 1$ дает при делении на 125 остаток 1. Следовательно, $N^{200}$ может оканчиваться цифрами 126, 251, 376, 501, 626, 751 или 876; но так как $N^{200}$ делится на 8, то оно должно оканчиваться цифрами 376. Итак, цифра сотен числа $N^{200}$ равна 3.
Примечание. Нетрудно видеть, что уже число $N^{100}$ обязательно оканчивается тремя цифрами 376.
Ответ: 7; 3.
