Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2765
2019-05-03 
Найти трехзначное число, всякая целая степень которого оканчивается тремя цифрами, составляющими первоначальное число.
Решение:
Пусть $N$ - искомое число; тогда, в частности, $N^2 - N$ оканчивается тремя нулями, т. е. делится на 1000. Так как $N^2 - N = N(N-1)$, а $N$ и $N-1$ - взаимно простые числа, то это возможно лишь в том случае, когда одно из этих чисел делится на 8, а второе - на 125 (на 1000 ни одно из этих чисел само делиться не может, так как $N$ трехзначно).
Если $N$ есть трехзначное число, делящееся на 125, то $N - 1$, как легко проверить, будет делиться на 8, лишь если $N = 625$, $N-1 = 624$. Так же легко проверяется, что если $N-1$ есть трехзначное число, делящееся на 125, то $N$ будет делиться на 8 лишь при $N - 1 = 375$, $N = 376$.
Заметим теперь, что так как $N^{k-1} - 1$ при любом целом $k \geq 2$ делится без остатка на $N - 1$, то $N^k - N = N (N^{k-1} - 1)$ при любом целом $k$ будет делиться без остатка на $N(N-1) = N^2 - N$; поэтому если $N^2 - N$ оканчивается тремя нулями, то и $N^k - N$ при любом целом $k \geq 2$ будет оканчиваться тремя нулями, т. е. $N^k$ будет оканчиваться теми же тремя цифрами, что и $N$. Отсюда вытекает, что числа 625 и 376 (и только они) удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: 625 и 376.
Найти трехзначное число, всякая целая степень которого оканчивается тремя цифрами, составляющими первоначальное число.
Решение:
Пусть $N$ - искомое число; тогда, в частности, $N^2 - N$ оканчивается тремя нулями, т. е. делится на 1000. Так как $N^2 - N = N(N-1)$, а $N$ и $N-1$ - взаимно простые числа, то это возможно лишь в том случае, когда одно из этих чисел делится на 8, а второе - на 125 (на 1000 ни одно из этих чисел само делиться не может, так как $N$ трехзначно).
Если $N$ есть трехзначное число, делящееся на 125, то $N - 1$, как легко проверить, будет делиться на 8, лишь если $N = 625$, $N-1 = 624$. Так же легко проверяется, что если $N-1$ есть трехзначное число, делящееся на 125, то $N$ будет делиться на 8 лишь при $N - 1 = 375$, $N = 376$.
Заметим теперь, что так как $N^{k-1} - 1$ при любом целом $k \geq 2$ делится без остатка на $N - 1$, то $N^k - N = N (N^{k-1} - 1)$ при любом целом $k$ будет делиться без остатка на $N(N-1) = N^2 - N$; поэтому если $N^2 - N$ оканчивается тремя нулями, то и $N^k - N$ при любом целом $k \geq 2$ будет оканчиваться тремя нулями, т. е. $N^k$ будет оканчиваться теми же тремя цифрами, что и $N$. Отсюда вытекает, что числа 625 и 376 (и только они) удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: 625 и 376.
