Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2764
2019-05-03 
Доказать, что если целое число $N$ взаимно просто с 10, то 101-я степень числа $N$ оканчивается теми, же тремя цифрами, что и $N$ (так, например, $1233^{101}$ оканчивается цифрами 233, а $37^{101}$ - цифрами 037).
Решение:
Нам надо доказать, что если $N$ взаимно просто с 10, то $N^{101} - N = N (N^{100} - 1)$ делится на 1000, т. е. что $N^{100} - 1$ делится на 100. Прежде всего совершенно ясно, что если $N$ нечетно, $N^{100} - 1 = (N^{50} + 1)(N^{25} + 1)(N^{25} - 1)$ делится на 8. Далее, из результата задачи 2763 следует, что если $N$ не делится на 5, то $N^{100} - 1$ делится на 125. Таким образом, мы видим, что действительно $N^{100} - 1$ при $N$, взаимно простом с 10, делится на $8 \cdot 125 = 1000$.
Доказать, что если целое число $N$ взаимно просто с 10, то 101-я степень числа $N$ оканчивается теми, же тремя цифрами, что и $N$ (так, например, $1233^{101}$ оканчивается цифрами 233, а $37^{101}$ - цифрами 037).
Решение:
Нам надо доказать, что если $N$ взаимно просто с 10, то $N^{101} - N = N (N^{100} - 1)$ делится на 1000, т. е. что $N^{100} - 1$ делится на 100. Прежде всего совершенно ясно, что если $N$ нечетно, $N^{100} - 1 = (N^{50} + 1)(N^{25} + 1)(N^{25} - 1)$ делится на 8. Далее, из результата задачи 2763 следует, что если $N$ не делится на 5, то $N^{100} - 1$ делится на 125. Таким образом, мы видим, что действительно $N^{100} - 1$ при $N$, взаимно простом с 10, делится на $8 \cdot 125 = 1000$.
