Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2763
2019-05-03 
Какие остатки может давать сотая степень целого числа при делении на 125?
Решение:
Всякое целое число или делится на 5 или может быть представлено в одном из следующих четырех видов $5k+1, 5k + 2, 5k - 2$, $5k - 1$. Если число делится на 5, то его сотая степень, очевидно, делится на $5^3 = 125$. Далее, по формуле бинома Ньютона получим:
$(5k \pm 1)^{100} = (5k)^{100} \pm \cdots + \frac {100 \cdot 99}{1 \cdot 2} (5k)^2 \pm 100 \cdot 5k + 1$,
где все не выписанные члены содержат множитель $5k$ в степени, не меньшей 3, и, следовательно, делятся на 125. Аналогично
$(5k \pm 2)^{100} = (5k)^100 \pm \cdots + \frac {100 \cdot 99}{1 \cdot 2} (5k)^2 \cdot 2^{98} \pm 100 \cdot 5k \cdot 2^{99} + 2^{100}$.
Но $\frac {100 \cdot 99}{1 \cdot 2} (5k)^2 = 125 \cdot 990k^2$ и $100 \cdot 5k = 125 \cdot 4k$ делятся на 125. Что касается числа $2^{100}$, то его можно представить в виде
$(5-1)^{50} = 5^{50} - \cdots + \frac {50 \cdot 49}{1 \cdot 2} \cdot 5 - 50 \cdot 5 + 1$,
откуда видно, что оно дает при делении на 125 остаток 1.
Итак, сотая степень числа, делящегося на 5, делится на 125; сотая степень числа, не делящегося на 5, дает при делении на 125 остаток 1.
Какие остатки может давать сотая степень целого числа при делении на 125?
Решение:
Всякое целое число или делится на 5 или может быть представлено в одном из следующих четырех видов $5k+1, 5k + 2, 5k - 2$, $5k - 1$. Если число делится на 5, то его сотая степень, очевидно, делится на $5^3 = 125$. Далее, по формуле бинома Ньютона получим:
$(5k \pm 1)^{100} = (5k)^{100} \pm \cdots + \frac {100 \cdot 99}{1 \cdot 2} (5k)^2 \pm 100 \cdot 5k + 1$,
где все не выписанные члены содержат множитель $5k$ в степени, не меньшей 3, и, следовательно, делятся на 125. Аналогично
$(5k \pm 2)^{100} = (5k)^100 \pm \cdots + \frac {100 \cdot 99}{1 \cdot 2} (5k)^2 \cdot 2^{98} \pm 100 \cdot 5k \cdot 2^{99} + 2^{100}$.
Но $\frac {100 \cdot 99}{1 \cdot 2} (5k)^2 = 125 \cdot 990k^2$ и $100 \cdot 5k = 125 \cdot 4k$ делятся на 125. Что касается числа $2^{100}$, то его можно представить в виде
$(5-1)^{50} = 5^{50} - \cdots + \frac {50 \cdot 49}{1 \cdot 2} \cdot 5 - 50 \cdot 5 + 1$,
откуда видно, что оно дает при делении на 125 остаток 1.
Итак, сотая степень числа, делящегося на 5, делится на 125; сотая степень числа, не делящегося на 5, дает при делении на 125 остаток 1.
