Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2761
2019-05-03 
При каких целых положительных $n$ число $20^n + 16^n -3^n - 1$ делится на 323?
Решение:
Заметим, прежде всего, что $323 = 17 \cdot 19$; таким образом, нам надо выяснить, когда выписанное в условии задачи число $N$ делится и на 17, и на 19. Пусть сначала число $n = 2k$ - четное. Ясно, что $20^n - 3^n$ при всех $n$ делится на $20 - 3 = 17$; с другой стороны, $16^n - 1^n = 16^{2k} - 1^{2k}$ делится на $16^2 - 1^2 = (16 - 1) \times (16+1) = 15 \cdot 17$, а значит, при четном $n$ также и число $16^n - 1$ делится на 17, т. е. в этом случае $N = (20^n - 3^n) + (16^n - 1)$ делится на 17. С другой стороны, число $20^n - 1$ при всех $n$ делится на $20 - 1 = 19$, а число $16^n - 3^n = 16^2k - 3^2k$ делится на $16^2 - 3^2 = (16 - 3)(16+3) = 19 \cdot 13$, т. е. также делится на 19; поэтому и число $N = (20^n - 1) + (16^n - 3^n)$ делится на 19. Таким образом, при всех четных $n$ число $N$ на 323 делится. С другой стороны, если $N = 2k + 1$ нечетно, то число $20^n - 3^n$ по-прежнему делится на 17; поскольку же $16^{2k} - 1$ делится на 17, то $16^{2k}$ при делении на 17 дает остаток 1, а значит, число $16^{2k+1} = 16^{2k} \cdot 16$ при делении на 17 дает остаток $1 \cdot 16 = 16$; поэтому число $16^n - 1 = 16^{2k+1} - 1$ на 17 не делится (оно дает при делении на 17 остаток 15). Таким образом, при $n$ нечетном число $N$ делится уже на 17 - и тем более оно не делится на 323.
Итак, число $N$ делится на 323 в том и только в том случае, когда $n$ - четное:
Ответ: При четных $n$.
При каких целых положительных $n$ число $20^n + 16^n -3^n - 1$ делится на 323?
Решение:
Заметим, прежде всего, что $323 = 17 \cdot 19$; таким образом, нам надо выяснить, когда выписанное в условии задачи число $N$ делится и на 17, и на 19. Пусть сначала число $n = 2k$ - четное. Ясно, что $20^n - 3^n$ при всех $n$ делится на $20 - 3 = 17$; с другой стороны, $16^n - 1^n = 16^{2k} - 1^{2k}$ делится на $16^2 - 1^2 = (16 - 1) \times (16+1) = 15 \cdot 17$, а значит, при четном $n$ также и число $16^n - 1$ делится на 17, т. е. в этом случае $N = (20^n - 3^n) + (16^n - 1)$ делится на 17. С другой стороны, число $20^n - 1$ при всех $n$ делится на $20 - 1 = 19$, а число $16^n - 3^n = 16^2k - 3^2k$ делится на $16^2 - 3^2 = (16 - 3)(16+3) = 19 \cdot 13$, т. е. также делится на 19; поэтому и число $N = (20^n - 1) + (16^n - 3^n)$ делится на 19. Таким образом, при всех четных $n$ число $N$ на 323 делится. С другой стороны, если $N = 2k + 1$ нечетно, то число $20^n - 3^n$ по-прежнему делится на 17; поскольку же $16^{2k} - 1$ делится на 17, то $16^{2k}$ при делении на 17 дает остаток 1, а значит, число $16^{2k+1} = 16^{2k} \cdot 16$ при делении на 17 дает остаток $1 \cdot 16 = 16$; поэтому число $16^n - 1 = 16^{2k+1} - 1$ на 17 не делится (оно дает при делении на 17 остаток 15). Таким образом, при $n$ нечетном число $N$ делится уже на 17 - и тем более оно не делится на 323.
Итак, число $N$ делится на 323 в том и только в том случае, когда $n$ - четное:
Ответ: При четных $n$.
