Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 276
2014-06-07 
Доказать, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ любого треугольника справедливо неравенство
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma \geq 3/2$.
Определить, когда достигается равенство.
Решение:
Заметим, что при $\alpha = \beta = \gamma = 60^{\circ}$ требуемое неравенство обращается в равенство. Пусть хотя бы два угла треугольника, скажем $\alpha$ и $\beta$, не равны, тогда
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \cos \alpha + \cos \beta - \cos (\alpha + \beta) =$
$= 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos (\alpha + \beta) < 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} – 2 \cdots^{2} \frac{\alpha + \beta}{2} + 1 =$
$= - \frac{1}{2} \left ( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} -1 \right )^{2} + \frac{3}{2} \leq \frac{3}{2}$,
т. е. требуемое неравенство также выполнено, но является строгим. Таким образом, равенство имеет место только для правильного треугольника.
Доказать, что для углов $\alpha, \beta, \gamma$ любого треугольника справедливо неравенство
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma \geq 3/2$.
Определить, когда достигается равенство.
Решение:
Заметим, что при $\alpha = \beta = \gamma = 60^{\circ}$ требуемое неравенство обращается в равенство. Пусть хотя бы два угла треугольника, скажем $\alpha$ и $\beta$, не равны, тогда
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \cos \alpha + \cos \beta - \cos (\alpha + \beta) =$
$= 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos (\alpha + \beta) < 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} – 2 \cdots^{2} \frac{\alpha + \beta}{2} + 1 =$
$= - \frac{1}{2} \left ( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} -1 \right )^{2} + \frac{3}{2} \leq \frac{3}{2}$,
т. е. требуемое неравенство также выполнено, но является строгим. Таким образом, равенство имеет место только для правильного треугольника.
