Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2759
2019-05-03 
Доказать, что при всяком целом $n$
а) $3^{6n} - 2^{6n}$ делится на 35 (здесь $n \geq 0$);
б) $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120;
в) $n^2 + 3n + 5$ не делится на 121.
Решение:
а) Разность одинаковых четных степеней делится на сумму оснований; поэтому $3^{6n} - 2^{6n} = 27^{2n} - 8^{2n}$ делится на $27 + 8 = 35$.
б) Нетрудно проверить, что
$n^5 - 5n^2 + 4n = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
Но из пяти последовательных целых чисел одно наверное делится на 5, по крайней мере одно на 3 и по крайней мере два на 2, причем из этих двух последних чисел одно наверное делится на 4. Таким образом, произведение пяти последовательных целых чисел всегда делится на $5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 = 120$ (ср. с решением задачи 2758а)).
в) Воспользуемся тождеством
$n^2 + 3n + 5 = (n+7)(n-4) + 33$.
Для того чтобы это выражение делилось на 11, необходимо, чтобы $(n+7)(n-4)$ делилось на 11. Но так как $(n+7) - (n - 4) = 11$, то оба сомножителя делятся или не делятся на 11 одновременно. Поэтому если $(n+7)(n-4)$ делится на 11, то оно делится и на 121 и, следовательно, $(n+7)(n-4) + 33$ не может делиться на 121.
Доказать, что при всяком целом $n$
а) $3^{6n} - 2^{6n}$ делится на 35 (здесь $n \geq 0$);
б) $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120;
в) $n^2 + 3n + 5$ не делится на 121.
Решение:
а) Разность одинаковых четных степеней делится на сумму оснований; поэтому $3^{6n} - 2^{6n} = 27^{2n} - 8^{2n}$ делится на $27 + 8 = 35$.
б) Нетрудно проверить, что
$n^5 - 5n^2 + 4n = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
Но из пяти последовательных целых чисел одно наверное делится на 5, по крайней мере одно на 3 и по крайней мере два на 2, причем из этих двух последних чисел одно наверное делится на 4. Таким образом, произведение пяти последовательных целых чисел всегда делится на $5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 = 120$ (ср. с решением задачи 2758а)).
в) Воспользуемся тождеством
$n^2 + 3n + 5 = (n+7)(n-4) + 33$.
Для того чтобы это выражение делилось на 11, необходимо, чтобы $(n+7)(n-4)$ делилось на 11. Но так как $(n+7) - (n - 4) = 11$, то оба сомножителя делятся или не делятся на 11 одновременно. Поэтому если $(n+7)(n-4)$ делится на 11, то оно делится и на 121 и, следовательно, $(n+7)(n-4) + 33$ не может делиться на 121.
