Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2758
2019-05-03 
Доказать, что при всяком целом $n$
а) $n^3 - n$ делится на 3;
б) $n^5 - n$ делится на 5;
в) $n^7 - n$ делится на 7;
г) $n^11 - n$ делится на 11;
д) $n^13 - n$ делится на 13.
Решение:
а) $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$, а из трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3.
б) $n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$. Если целое число оканчивается одной из цифр 0, 1, 4, 5, 6 или 9, то один из первых трех множителей делится на 5. Если $n$ оканчивается одной из цифр 2, 7 или 8, то $n^2$ оканчивается на 4 или 9 и $n^2 + 1$ делится на 5.
в) $n^7 - n = n(n-1)(n+1)(n^2 - n +1)(n^2 + n + 1)$. Если $n$ делится на 7 или дает при делении на 7 остаток 1 или 6, то один из первых трех множителей делится на 7. Если $n$ дает при делении на 7 остаток $2 (n = 7k + 2)$, то $n^2$ дает при делении на 7 остаток 4 $(n^2 = 49k^2 + 28k +
4)$ и, следовательно, $n^2 + n + 1$ делится на 7. Точно так же показывается, что если $n$ дает при делении на 7 остаток 4, то $n^2 + n + 1$ делится на 7, а если $n$ дает при делении на 7 остаток 3 или 5, то $n^2 - n + 1$ делится на 7.
г) $n^{11} - n = n(n-1)(n+1)(n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + 1)$. Если $n$ делится на 11 или дает при делении на 11 остаток 1 или 10, то один из первых трех множителей делится на 11. Если $n$ дает при делении на 11 остаток 2 или $9(n = 11k \pm 2)$, то $n^2$ дает при делении на 11 остаток 4 ($n^2 = 121k^2 \pm 44k + 4$, $n^4$ - остаток $5 = 16 - 11$, $n^6$ - остаток $9 = 20 - 11$ ($n^6 = n^4 \cdot n^2 = (11 k_1 + 5) \times (11 k_2 + 4) = 121k_1k_2 + 11 (4k_1 + 5k_2) + 20)$) и $n^8$ - остаток $3 = 25-22$; отсюда следует, что $n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + 1$ делится на 11. Точно так же показывается, что $n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + 1$ делится на 11, если $n$ дает при делении на 11 остаток $\pm 3, \pm 4$ или $\pm 5$.
д) $n^13 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4 - n^2 + 1)(n^4 + n^2 + 1)$. Аналогично решению предыдущих задач замечаем, что если $n$ делится на 13 или дает при делении на 13 остаток $\pm 1$, то один из первых трех-множителей делится на 13; если $n$ дает при делении на 13 остаток $\pm 5$, то $n^2 + 1$ делится на 13; если $n$ дает при делении на 13 остаток $\pm 2$ или $\pm 6$, то $n^4 - n^2 + 1$ делится на 13; если $n$ дает при делении на 13 остаток $\pm 3$ или $\pm 4$, то $n^4 + n^2 + 1$ делится на 13.
Доказать, что при всяком целом $n$
а) $n^3 - n$ делится на 3;
б) $n^5 - n$ делится на 5;
в) $n^7 - n$ делится на 7;
г) $n^11 - n$ делится на 11;
д) $n^13 - n$ делится на 13.
Решение:
а) $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$, а из трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3.
б) $n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$. Если целое число оканчивается одной из цифр 0, 1, 4, 5, 6 или 9, то один из первых трех множителей делится на 5. Если $n$ оканчивается одной из цифр 2, 7 или 8, то $n^2$ оканчивается на 4 или 9 и $n^2 + 1$ делится на 5.
в) $n^7 - n = n(n-1)(n+1)(n^2 - n +1)(n^2 + n + 1)$. Если $n$ делится на 7 или дает при делении на 7 остаток 1 или 6, то один из первых трех множителей делится на 7. Если $n$ дает при делении на 7 остаток $2 (n = 7k + 2)$, то $n^2$ дает при делении на 7 остаток 4 $(n^2 = 49k^2 + 28k +
4)$ и, следовательно, $n^2 + n + 1$ делится на 7. Точно так же показывается, что если $n$ дает при делении на 7 остаток 4, то $n^2 + n + 1$ делится на 7, а если $n$ дает при делении на 7 остаток 3 или 5, то $n^2 - n + 1$ делится на 7.
г) $n^{11} - n = n(n-1)(n+1)(n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + 1)$. Если $n$ делится на 11 или дает при делении на 11 остаток 1 или 10, то один из первых трех множителей делится на 11. Если $n$ дает при делении на 11 остаток 2 или $9(n = 11k \pm 2)$, то $n^2$ дает при делении на 11 остаток 4 ($n^2 = 121k^2 \pm 44k + 4$, $n^4$ - остаток $5 = 16 - 11$, $n^6$ - остаток $9 = 20 - 11$ ($n^6 = n^4 \cdot n^2 = (11 k_1 + 5) \times (11 k_2 + 4) = 121k_1k_2 + 11 (4k_1 + 5k_2) + 20)$) и $n^8$ - остаток $3 = 25-22$; отсюда следует, что $n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + 1$ делится на 11. Точно так же показывается, что $n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + 1$ делится на 11, если $n$ дает при делении на 11 остаток $\pm 3, \pm 4$ или $\pm 5$.
д) $n^13 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4 - n^2 + 1)(n^4 + n^2 + 1)$. Аналогично решению предыдущих задач замечаем, что если $n$ делится на 13 или дает при делении на 13 остаток $\pm 1$, то один из первых трех-множителей делится на 13; если $n$ дает при делении на 13 остаток $\pm 5$, то $n^2 + 1$ делится на 13; если $n$ дает при делении на 13 остаток $\pm 2$ или $\pm 6$, то $n^4 - n^2 + 1$ делится на 13; если $n$ дает при делении на 13 остаток $\pm 3$ или $\pm 4$, то $n^4 + n^2 + 1$ делится на 13.
