Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2757
2019-04-29 
Пусть $M$ - некоторое 17-значное число, $N$ - число, полученное «переворачиванием» $M$, т. е. записываемое теми же цифрами, следующими, однако, в обратном порядке. Доказать, что хотя бы одна цифра десятичной записи числа $M + N$ - четная.
Решение:
Представим себе выписанные друг под другом числа $М$ и $N$ и процесс сложения «столбиком» этих чисел; при этом пусть все цифры полученной суммы $M+N$ - нечетные. Отcюда следует, что сумма цифр последнего столбика нечетна; а тогда и сумма цифр первого столбика, отличающегося от последнего столбца лишь порядком цифр, также нечетна. Но это возможно лишь в том случае, если при сложении цифр 2-го столбца из этого столбца в первый не переносится единица, т. е. если сумма цифр 2-го (а значит - и предпоследнего) столбца меньше 10. Поэтому из предпоследнего столбца также не переносится в 3-й от конца столбец единица: ведь случай, когда сумма цифр предпоследнего столбца равна 9 (т. е. < 10), но единица из этого столбца в следующий все же переносится за счет заимствованной из последнего столбца единицы, явно невозможен, ибо в этом случае предпоследняя цифра суммы $M + N$ будет равна 0, т. е. окажется четной. Таким образом, два последних (и два первых) столбца пашей суммы никак не влияют на остальные цифры суммы $M+N$; поэтому мы можем отбросить в числах $M$ и $N$ по две первые и две последние цифры - и продолжать наши рассмотрения, исходя уже из «усеченных» (13-значных) чисел $M_1$ и $N_1$.
Составим теперь сумму $M_1 + N_1$ чисел $M_1$ и $N_1$ при этом, как и выше, можно показать, что если все цифры числа $M_1 + N_1$ нечетные, то при сложении столбиком 3-значных чисел $M_1$ и $N_1$ два последних и два первых столбца не влияют на «средние» цифры суммы $M_1 + N_1$ (на все цифры, кроме двух первых и двух последних). Поэтому мы можем «усечь» также и числа $M_1$ и $N_1$ отбросив в каждом из них по две последние и по две первые цифры и перейдя, таким образом, к 9-значным числам $M_2$ и $N_2$. С числами $M_2$ и $N_2$ мы затем производим ту же операцию, переходя к 5-значным числам $M_3$ и $N_3$; наконец, мы таким же образом «усекаем» числа $M_3$ и $N_3$, переходя к (однозначным!) числам $M_4$ и $N_4$, записываемым одной («средней») цифрой чисел $M$ и $N$. Но ясно, что цифры (точнее - цифра!) числа $M_4 + N_4 = 2M_4$ не могут быть нечетными (ибо число $2M_4$ четно!); этим и устанавливается, что также и все цифры суммы $M+N$ не могут быть нечетными.
Пусть $M$ - некоторое 17-значное число, $N$ - число, полученное «переворачиванием» $M$, т. е. записываемое теми же цифрами, следующими, однако, в обратном порядке. Доказать, что хотя бы одна цифра десятичной записи числа $M + N$ - четная.
Решение:
Представим себе выписанные друг под другом числа $М$ и $N$ и процесс сложения «столбиком» этих чисел; при этом пусть все цифры полученной суммы $M+N$ - нечетные. Отcюда следует, что сумма цифр последнего столбика нечетна; а тогда и сумма цифр первого столбика, отличающегося от последнего столбца лишь порядком цифр, также нечетна. Но это возможно лишь в том случае, если при сложении цифр 2-го столбца из этого столбца в первый не переносится единица, т. е. если сумма цифр 2-го (а значит - и предпоследнего) столбца меньше 10. Поэтому из предпоследнего столбца также не переносится в 3-й от конца столбец единица: ведь случай, когда сумма цифр предпоследнего столбца равна 9 (т. е. < 10), но единица из этого столбца в следующий все же переносится за счет заимствованной из последнего столбца единицы, явно невозможен, ибо в этом случае предпоследняя цифра суммы $M + N$ будет равна 0, т. е. окажется четной. Таким образом, два последних (и два первых) столбца пашей суммы никак не влияют на остальные цифры суммы $M+N$; поэтому мы можем отбросить в числах $M$ и $N$ по две первые и две последние цифры - и продолжать наши рассмотрения, исходя уже из «усеченных» (13-значных) чисел $M_1$ и $N_1$.
Составим теперь сумму $M_1 + N_1$ чисел $M_1$ и $N_1$ при этом, как и выше, можно показать, что если все цифры числа $M_1 + N_1$ нечетные, то при сложении столбиком 3-значных чисел $M_1$ и $N_1$ два последних и два первых столбца не влияют на «средние» цифры суммы $M_1 + N_1$ (на все цифры, кроме двух первых и двух последних). Поэтому мы можем «усечь» также и числа $M_1$ и $N_1$ отбросив в каждом из них по две последние и по две первые цифры и перейдя, таким образом, к 9-значным числам $M_2$ и $N_2$. С числами $M_2$ и $N_2$ мы затем производим ту же операцию, переходя к 5-значным числам $M_3$ и $N_3$; наконец, мы таким же образом «усекаем» числа $M_3$ и $N_3$, переходя к (однозначным!) числам $M_4$ и $N_4$, записываемым одной («средней») цифрой чисел $M$ и $N$. Но ясно, что цифры (точнее - цифра!) числа $M_4 + N_4 = 2M_4$ не могут быть нечетными (ибо число $2M_4$ четно!); этим и устанавливается, что также и все цифры суммы $M+N$ не могут быть нечетными.
