Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2756
2019-04-29 
Пусть $A$ - некоторое целое положительное число, $A^{ \prime}$ - число, составленное из тех же цифр, но переставленных в каком-то другом порядке. Доказать, что если $A + A^{ \prime} = 10^{10}$, то $A$ делится на 10.
Решение:
Ясно, что числа $A$ и $A^{ \prime}$ должны быть 10-значными; пусть $A = \overline {a_{10}a_9a_8 \cdots a_1}$ и $A^{ \prime} = \overline {a_{10}^{ \prime}a_{9}^{ \prime}a_{8}^{ \prime} \cdots a_{1}^{ \prime}}(a_{10},a_{9},a_{8}, \cdots, a_{1})$ - последовательные цифры числа $A$, a $a_{10}^{ \prime},a_{9}^{ \prime},a_{8}^{ \prime}, \cdots, a_{1}^{ \prime}$ - цифры числа $A^{ \prime}$). Представим себе процесс сложения «столбиком» чисел $A$ и $A^{ \prime}$. Ясно, что в сумме может получиться число $10^{10} = 10000000000$ лишь в том случае, если существует такой номер $i$ (где $0 \leq i \leq 9$), что
$a_1 + a_{1}^{ \prime} =0, a_{2} + a_{2}^{ \prime} =0, \cdots, a_i + a_{i}^{ \prime} = 0, a_{i+1} + a_{i+1}^{ \prime} = 10, a_{i+2} + a_{i+2}^{ \prime} = 9, \cdots, a_{10} + a_{10}^{ \prime} = 9$) (*),
(если $i = 9$, то равных девяти сумм $a_{i+2} + a_{i+2}^{ \prime}, a_{i+3} + a_{i+3}^{ \prime}, \cdots$ просто нет, а если $i = 0$, то отсутствуют равные нулю суммы $a_1 + a_{1}^{ \prime}, \cdots, a_i + a_{i}^{ \prime}$. Сложим теперь все суммы (*); мы получим
$(a_1 + a_{1}^{ \prime}) + (a_2 + a_{2}^{ \prime}) + \cdots + (a_{10} + a_{10}^{ \prime}) = 10 + 9 (9 - i)$.
А так как $a_1, a_2, \cdots, a_{10}$ и $a_1, a_{2}^{ \prime}, \cdots, a_{10}^{ \prime}$ - это одни и те же цифры (только взятые в разном порядке), то в правой части последнего равенства стоит четное число $2 (a_1 + a_2 + \cdots + a_{10})$; поэтому, число $10 + 9(9 - i)$ тоже четно. Отсюда следует, что число $i$ - обязательно нечетно, т. е. $i$ не может быть нулем ($i = 1$, или 3, или $5, \cdots$); поэтому $a_1 + a_1 = 0$, т. е. $a_1 = a_{1}^{ \prime} = 0$. Но это и означает, что числа $A$ и $A^{ \prime}$ делятся на 10.
Пусть $A$ - некоторое целое положительное число, $A^{ \prime}$ - число, составленное из тех же цифр, но переставленных в каком-то другом порядке. Доказать, что если $A + A^{ \prime} = 10^{10}$, то $A$ делится на 10.
Решение:
Ясно, что числа $A$ и $A^{ \prime}$ должны быть 10-значными; пусть $A = \overline {a_{10}a_9a_8 \cdots a_1}$ и $A^{ \prime} = \overline {a_{10}^{ \prime}a_{9}^{ \prime}a_{8}^{ \prime} \cdots a_{1}^{ \prime}}(a_{10},a_{9},a_{8}, \cdots, a_{1})$ - последовательные цифры числа $A$, a $a_{10}^{ \prime},a_{9}^{ \prime},a_{8}^{ \prime}, \cdots, a_{1}^{ \prime}$ - цифры числа $A^{ \prime}$). Представим себе процесс сложения «столбиком» чисел $A$ и $A^{ \prime}$. Ясно, что в сумме может получиться число $10^{10} = 10000000000$ лишь в том случае, если существует такой номер $i$ (где $0 \leq i \leq 9$), что
$a_1 + a_{1}^{ \prime} =0, a_{2} + a_{2}^{ \prime} =0, \cdots, a_i + a_{i}^{ \prime} = 0, a_{i+1} + a_{i+1}^{ \prime} = 10, a_{i+2} + a_{i+2}^{ \prime} = 9, \cdots, a_{10} + a_{10}^{ \prime} = 9$) (*),
(если $i = 9$, то равных девяти сумм $a_{i+2} + a_{i+2}^{ \prime}, a_{i+3} + a_{i+3}^{ \prime}, \cdots$ просто нет, а если $i = 0$, то отсутствуют равные нулю суммы $a_1 + a_{1}^{ \prime}, \cdots, a_i + a_{i}^{ \prime}$. Сложим теперь все суммы (*); мы получим
$(a_1 + a_{1}^{ \prime}) + (a_2 + a_{2}^{ \prime}) + \cdots + (a_{10} + a_{10}^{ \prime}) = 10 + 9 (9 - i)$.
А так как $a_1, a_2, \cdots, a_{10}$ и $a_1, a_{2}^{ \prime}, \cdots, a_{10}^{ \prime}$ - это одни и те же цифры (только взятые в разном порядке), то в правой части последнего равенства стоит четное число $2 (a_1 + a_2 + \cdots + a_{10})$; поэтому, число $10 + 9(9 - i)$ тоже четно. Отсюда следует, что число $i$ - обязательно нечетно, т. е. $i$ не может быть нулем ($i = 1$, или 3, или $5, \cdots$); поэтому $a_1 + a_1 = 0$, т. е. $a_1 = a_{1}^{ \prime} = 0$. Но это и означает, что числа $A$ и $A^{ \prime}$ делятся на 10.
