Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2755
2019-04-29 
Найти все трехзначные числа, равные среднему арифметическому всех чисел, - получающихся из заданного числа всевозможными перестановками его цифр (включая, разумеется, и «тождественную перестановку», оставляющую все цифры числа на месте).
Решение:
Пусть $N = \overline {xyz} = 100x + 10y + z$ - искомое число, $х, у, z$ – цифры числа. Перестановками цифр из $N$ получаются числа $N_1 = \overline {yxz} = 100y + 10x + z, \cdots, N_5 = \overline {zyx} = 100z + 10y + x$. Сумма $N + N_1 + \cdots + N_s$ всех этих чисел должна равняться ушестеренному числу $N$, откуда без труда получаем:
$(2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 2)(x+y+z) = 6 (100x + 10y + z)$
(ибо в шестерке чисел $N, N_1, N_2, N_3, N_4, N_5$ каждая из цифр, например, $x$, 2 раза встречается на первом месте, 2 раза - на втором и 2 раза - на третьем), или
$37(x+y+z) = 100x +10y + z$,
т. е.
$63x = 27y +36z$.
Сокращая обе части на 9, находим:
$7x = 3y + 4z$, или $7(x-y) = 4(z-y)$.
Но разности $x-y$ и $z-y$ по абсолютной величине не превосходят 9, откуда вытекает, что последнее равенство возможно лишь, если
$x-y=0, z-y=0$, или $x-y=4, z-y=7$, или $x-y=-4, z-y=-7$,
При этом если $z-y=7$, то $z = 9, 8 \:или 7$; если $z-y = -7$, то $у = 9, 8 \:или 7$; поэтому (отбрасывая сомнительное «решение» $N = 000$) получаем 15 возможных значений числа $N$:
$N = 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999, 407, 518, 629, 370, 481$ или $592$.
Ответ: $111, 222, 333, \cdots, 999, 407, 518, 629, 370, 481, 592$.
Найти все трехзначные числа, равные среднему арифметическому всех чисел, - получающихся из заданного числа всевозможными перестановками его цифр (включая, разумеется, и «тождественную перестановку», оставляющую все цифры числа на месте).
Решение:
Пусть $N = \overline {xyz} = 100x + 10y + z$ - искомое число, $х, у, z$ – цифры числа. Перестановками цифр из $N$ получаются числа $N_1 = \overline {yxz} = 100y + 10x + z, \cdots, N_5 = \overline {zyx} = 100z + 10y + x$. Сумма $N + N_1 + \cdots + N_s$ всех этих чисел должна равняться ушестеренному числу $N$, откуда без труда получаем:
$(2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 2)(x+y+z) = 6 (100x + 10y + z)$
(ибо в шестерке чисел $N, N_1, N_2, N_3, N_4, N_5$ каждая из цифр, например, $x$, 2 раза встречается на первом месте, 2 раза - на втором и 2 раза - на третьем), или
$37(x+y+z) = 100x +10y + z$,
т. е.
$63x = 27y +36z$.
Сокращая обе части на 9, находим:
$7x = 3y + 4z$, или $7(x-y) = 4(z-y)$.
Но разности $x-y$ и $z-y$ по абсолютной величине не превосходят 9, откуда вытекает, что последнее равенство возможно лишь, если
$x-y=0, z-y=0$, или $x-y=4, z-y=7$, или $x-y=-4, z-y=-7$,
При этом если $z-y=7$, то $z = 9, 8 \:или 7$; если $z-y = -7$, то $у = 9, 8 \:или 7$; поэтому (отбрасывая сомнительное «решение» $N = 000$) получаем 15 возможных значений числа $N$:
$N = 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999, 407, 518, 629, 370, 481$ или $592$.
Ответ: $111, 222, 333, \cdots, 999, 407, 518, 629, 370, 481, 592$.
