Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2754
2019-04-29 
Найти шестизначное число, произведения которого на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 записываются теми же цифрами, что и оно само, но в другом порядке.
Решение:
Пусть $x$ - число, удовлетворяющее этому условию. Так как $6x$, так же как и $x$, - шестизначное число, то первая цифра десятичной записи числа $x$ равна 1. Поэтому:
1) первые цифры десятичной записи чисел $x, 2x, 3x, 4x, 5x$ и $6x$ все различны, следовательно, составляют полный набор цифр, участвующих в десятичной записи числа $x$;
2) все цифры в десятичной записи числа $x$ различны между собой.
Среди этих цифр нет 0, поэтому последняя цифра числа $x$ нечетна (иначе $5x$ оканчивается нулем) и отлична от 5 (иначе $2x$ оканчивается нулем). Вследствие этого последние цифры десятичной записи чисел $x, 2x, 3x, 4x, 5x$ и $6x$ все различны, а значит, также составляют полный набор цифр, участвующих в десятичной записи числа $x$. Поэтому среди них есть 1. Оканчиваться на 1 может лишь число $3x$, так как $2x, 4x$ и $6x$ оканчиваются на четные цифры, $5x$ оканчивается на 5, а в десятичной записи $x$ уже есть 1 (первая цифра). Следовательно, $x$ оканчивается цифрой 7, $2x$ - цифрой 4, $3x$ - цифрой 1, $4x$ - цифрой 8, $5x$ - цифрой 5 и $6x$ - цифрой 2. Так как первые цифры этих чисел - цифры того же набора, расположенные в возрастающем порядке, то можно написать:
$x \cdot 1 = 1 \ast \ast \ast \ast 7$,
$x \cdot 2 = 2 \ast \ast \ast \ast 4$,
$x \cdot 4 = 4 \ast \ast \ast \ast 1$,
$x \cdot 4 = 5 \ast \ast \ast \ast 8$,
$x \cdot 5 = 7 \ast \ast \ast \ast 8$,
$x \cdot 6 = 8 \ast \ast \ast \ast 2$
(звездочки стоят на месте неизвестных нам пока цифр).
Отметим теперь, что в выписанной таблице не только в каждой строке стоят в каком-то порядке шесть разных цифр 1, 2, 4, 5, 7 и 8, но и в каждом столбце стоят в каком-то порядке те же самые шесть разных цифр. Действительно, предположим, например, что в числах $х \cdot 2$ и $х \cdot 5$ на третьем месте стоит одна и та же цифра $а$ ($а$ может иметь одно из двух значений, не занятых первыми и последними цифрами рассматриваемых двух чисел). В таком случае разность $x \cdot 5 - x \cdot 2 = x \cdot 3$ будет представлять собой шестизначное число, в десятичной записи которого на третьем месте стоит цифра 0 или цифра 9 (это следует из правила вычитания многозначных чисел «столбиком»). Но это невозможно, так как мы знаем, что число $х \cdot 3$ записывается цифрами 1, 2, 4, 5, 7 и 8.
Сложим теперь числа
$x \cdot 1 = 1 \ast \ast \ast \ast 7$,
$x \cdot 2 = 2 \ast \ast \ast \ast 4$,
$x \cdot 4 = 4 \ast \ast \ast \ast 1$,
$x \cdot 4 = 5 \ast \ast \ast \ast 8$,
$x \cdot 5 = 7 \ast \ast \ast \ast 8$,
$x \cdot 6 = 8 \ast \ast \ast \ast 2$
«столбиком», учитывая, что сумма цифр каждого столбца равна $1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27$. Мы получим:
$x \cdot 21 = 2999997$,
или $x = 142857$. Это и есть искомое число; действительно,
$x = 142857$,
$2x = 285714$,
$3x = 428571$,
$4x = 571428$,
$5x = 714285$,
$6x = 857142$.
Ответ: 142 857.
Найти шестизначное число, произведения которого на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 записываются теми же цифрами, что и оно само, но в другом порядке.
Решение:
Пусть $x$ - число, удовлетворяющее этому условию. Так как $6x$, так же как и $x$, - шестизначное число, то первая цифра десятичной записи числа $x$ равна 1. Поэтому:
1) первые цифры десятичной записи чисел $x, 2x, 3x, 4x, 5x$ и $6x$ все различны, следовательно, составляют полный набор цифр, участвующих в десятичной записи числа $x$;
2) все цифры в десятичной записи числа $x$ различны между собой.
Среди этих цифр нет 0, поэтому последняя цифра числа $x$ нечетна (иначе $5x$ оканчивается нулем) и отлична от 5 (иначе $2x$ оканчивается нулем). Вследствие этого последние цифры десятичной записи чисел $x, 2x, 3x, 4x, 5x$ и $6x$ все различны, а значит, также составляют полный набор цифр, участвующих в десятичной записи числа $x$. Поэтому среди них есть 1. Оканчиваться на 1 может лишь число $3x$, так как $2x, 4x$ и $6x$ оканчиваются на четные цифры, $5x$ оканчивается на 5, а в десятичной записи $x$ уже есть 1 (первая цифра). Следовательно, $x$ оканчивается цифрой 7, $2x$ - цифрой 4, $3x$ - цифрой 1, $4x$ - цифрой 8, $5x$ - цифрой 5 и $6x$ - цифрой 2. Так как первые цифры этих чисел - цифры того же набора, расположенные в возрастающем порядке, то можно написать:
$x \cdot 1 = 1 \ast \ast \ast \ast 7$,
$x \cdot 2 = 2 \ast \ast \ast \ast 4$,
$x \cdot 4 = 4 \ast \ast \ast \ast 1$,
$x \cdot 4 = 5 \ast \ast \ast \ast 8$,
$x \cdot 5 = 7 \ast \ast \ast \ast 8$,
$x \cdot 6 = 8 \ast \ast \ast \ast 2$
(звездочки стоят на месте неизвестных нам пока цифр).
Отметим теперь, что в выписанной таблице не только в каждой строке стоят в каком-то порядке шесть разных цифр 1, 2, 4, 5, 7 и 8, но и в каждом столбце стоят в каком-то порядке те же самые шесть разных цифр. Действительно, предположим, например, что в числах $х \cdot 2$ и $х \cdot 5$ на третьем месте стоит одна и та же цифра $а$ ($а$ может иметь одно из двух значений, не занятых первыми и последними цифрами рассматриваемых двух чисел). В таком случае разность $x \cdot 5 - x \cdot 2 = x \cdot 3$ будет представлять собой шестизначное число, в десятичной записи которого на третьем месте стоит цифра 0 или цифра 9 (это следует из правила вычитания многозначных чисел «столбиком»). Но это невозможно, так как мы знаем, что число $х \cdot 3$ записывается цифрами 1, 2, 4, 5, 7 и 8.
Сложим теперь числа
$x \cdot 1 = 1 \ast \ast \ast \ast 7$,
$x \cdot 2 = 2 \ast \ast \ast \ast 4$,
$x \cdot 4 = 4 \ast \ast \ast \ast 1$,
$x \cdot 4 = 5 \ast \ast \ast \ast 8$,
$x \cdot 5 = 7 \ast \ast \ast \ast 8$,
$x \cdot 6 = 8 \ast \ast \ast \ast 2$
«столбиком», учитывая, что сумма цифр каждого столбца равна $1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27$. Мы получим:
$x \cdot 21 = 2999997$,
или $x = 142857$. Это и есть искомое число; действительно,
$x = 142857$,
$2x = 285714$,
$3x = 428571$,
$4x = 571428$,
$5x = 714285$,
$6x = 857142$.
Ответ: 142 857.
