ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-04-29   
а) Найти шестизначное число, которое увеличивается в 6 раз, если три последние цифры числа, не меняя их порядка, переставить в начало числа.
б) Доказать, что не существует восьмизначного числа, увеличивающегося в 6 раз при перестановке четырех последних цифр на первые четыре места с сохранением их порядка.


Решение:


а) Обозначим число, составленное первыми тремя цифрами искомого числа $N$, через $р$, а число, образуемое тремя последними цифрами числа $N$, - через $д$. В таком случае условие задачи даст

$1000q + p = 6(1000p + q) (= 6N)$,

откуда

$(1000q + p) - (1000p + q) = 999(q - p) (= 5N)$,

т. е. $N$ делится на 999.

Далее, $p+q = (1000p + q) - 999p = N - 999p$, откуда следует, что $p+q$ тоже делится на 999. Но $р$ и $q$ - трехзначные числа, которые, очевидно, не могут оба равняться 999; следовательно,

$p + q = 999$

Теперь без труда находим:

$(1000q + p) + (1000p + q) = 1001 (p+q) = 7N$

и, значит,

$7N = 999999$, $N = 142857$.

б) Совершенно аналогично решению задачи а), обозначая через $р$ число, образуемое первыми четырьмя цифрами искомого числа $N$, а через $q$ - число, образуемое последними четырьмя цифрами, находим:

$7N = 10001 (p+q) = 99999999$,

что невозможно при целом $N$ (ибо 99 999 999 не делится на 7).